华中师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $M_{n}(\mathbb{R})$ 是所有 $n$ 阶实方阵构成的实向量空间，那么它的由所有迹等于 0 的方阵构成的子空间的维数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题并定义子空间
设 $V = \{ A \in M_n(\mathbb{R}) \mid \operatorname{tr}(A) = 0 \}$，即所有迹为零的 $n$ 阶实方阵构成的集合。我们需要求 $V$ 作为 $M_n(\mathbb{R})$ 的子空间的维数。
提示：注意 $V$ 是子空间，因为迹是线性映射，核是子空间。
步骤 2/6
目标：确定全空间维数
$M_n(\mathbb{R})$ 是所有 $n$ 阶实方阵构成的实向量空间，其基可以是矩阵单位 $E_{ij}$（第 $i$ 行第 $j$ 列为1，其余为0），共有 $n^2$ 个这样的矩阵，因此 $\dim M_n(\mathbb{R}) = n^2$。
公式：\dim M_n(\mathbb{R}) = n^2
提示：不要忘记矩阵空间维数是 $n^2$，而不是 $n$。
步骤 3/6
目标：分析迹映射的性质
定义迹映射 $\operatorname{tr}: M_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$，$\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$。这是一个线性映射，因为 $\operatorname{tr}(A+B) = \operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)$ 且 $\operatorname{tr}(cA) = c\operatorname{tr}(A)$。
公式：\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B),\quad \operatorname{tr}(cA)=c\operatorname{tr}(A)
提示：验证线性性时注意常数乘法。
步骤 4/6
目标：确定迹映射的像空间维数
迹映射是满射：取矩阵 $E_{11}$（只有 $(1,1)$ 位置为1，其余为0），则 $\operatorname{tr}(E_{11}) = 1$，因此像空间 $\operatorname{Im}(\operatorname{tr}) = \mathbb{R}$，维数为 $1$。
公式：\dim \operatorname{Im}(\operatorname{tr}) = 1
提示：满射性需要至少一个矩阵的迹非零，$E_{11}$ 即可。
步骤 5/6
目标：应用维数公式
由维数公式（秩-零化度定理）：$\dim M_n(\mathbb{R}) = \dim \ker(\operatorname{tr}) + \dim \operatorname{Im}(\operatorname{tr})$。这里 $V = \ker(\operatorname{tr})$，所以 $\dim V = \dim M_n(\mathbb{R}) - \dim \operatorname{Im}(\operatorname{tr}) = n^2 - 1$。
公式：\dim V = \dim M_n(\mathbb{R}) - \dim \operatorname{Im}(\operatorname{tr}) = n^2 - 1
提示：维数公式适用于线性映射，注意核和像的维数关系。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，由所有迹等于0的方阵构成的子空间 $V$ 的维数为 $n^2 - 1$。
提示：答案应写为 $n^2-1$，注意指数形式。
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