华中师范大学 2023年高等代数第0题

设 $\alpha \in \mathbb{C}^n$ 非零。令 $W = \operatorname{span}\{A\alpha \mid A \in M_n(\mathbb{C})\}$。对任意 $\beta \in \mathbb{C}^n$，需要证明 $\beta \in W$。由于 $\alpha \neq 0$，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P\alpha = e_1$，其中 $e_1$ 是第一个标准基向量。取 $A = \beta e_1^T P$，则 $A\alpha = \beta e_1^T P \alpha = \beta e_1^T e_1 = \beta$。因此 $\beta \in W$，故 $W = \mathbb{C}^n$。

由(1)，存在矩阵 $A_1,\dots,A_n \in M_n(\mathbb{C})$ 使得 $\{A_i\alpha\}$ 构成 $\mathbb{C}^n$ 的一组基。因为 $W = \mathbb{C}^n$，所以可以选取这样的 $A_i$。

对任意非零 $\alpha$，考虑任意 $\beta \in \mathbb{C}^n$。由(1)存在 $A$ 使得 $A\alpha = \beta$。则 $\theta(\beta) = \theta(A\alpha) = A\theta(\alpha)$。特别地，取 $\beta = \alpha$，则 $\theta(\alpha) = A\theta(\alpha)$ 对某个 $A$ 满足 $A\alpha = \alpha$。但更一般地，若存在 $\beta$ 与 $\alpha$ 线性无关，则 $\theta(\beta)$ 与 $\beta$ 共线（由后续步骤）。实际上，先证明 $\theta(\alpha)$ 与 $\alpha$ 共线：假设 $\theta(\alpha)$ 与 $\alpha$ 线性无关，则存在 $A$ 使得 $A\alpha = \theta(\alpha)$，那么 $\theta(\theta(\alpha)) = A\theta(\alpha)$，但 $\theta(\theta(\alpha))$ 与 $\theta(\alpha)$ 共线？更简洁的方法：取 $\beta$ 与 $\alpha$ 线性无关，则存在 $A$ 使 $A\alpha = \beta$，且存在 $B$ 使 $B\alpha = \alpha + \beta$。由条件 $\theta(\beta) = A\theta(\alpha)$，$\theta(\alpha+\beta) = B\theta(\alpha)$。但 $\theta(\alpha+\beta) = \theta(\alpha)+\theta(\beta)$，所以 $B\theta(\alpha) = \theta(\alpha) + A\theta(\alpha)$。由于 $B\alpha = \alpha+\beta$，可推出 $\theta(\alpha)$ 与 $\alpha$ 共线。详细推导：设 $\theta(\alpha) = u$，则 $Bu = u + Au$。又 $B\alpha = \alpha+\beta$，且 $A\alpha = \beta$，所以 $B = I + A$ 在 $\alpha$ 上成立，但 $B$ 不唯一。实际上，取 $A$ 使 $A\alpha = \beta$，则 $B = I + A$ 满足 $B\alpha = \alpha+\beta$。于是 $Bu = u + Au$，即 $(I+A)u = u+Au$，恒成立。这不能推出共线。正确方法：取 $\beta$ 与 $\alpha$ 线性无关，则存在 $A$ 使 $A\alpha = \beta$，且存在 $C$ 使 $C\alpha = \theta(\alpha)$。则 $\theta(\beta) = A\theta(\alpha)$，且 $\theta(\theta(\alpha)) = C\theta(\alpha)$。但 $\theta(\theta(\alpha))$ 与 $\theta(\alpha)$ 共线？不一定。标准证明：对任意 $A$，$\theta(A\alpha) = A\theta(\alpha)$。特别地，取 $A$ 为投影到 $\alpha$ 的投影矩阵，则 $A\alpha = \alpha$，故 $\theta(\alpha) = A\theta(\alpha)$，所以 $\theta(\alpha)$ 属于 $\alpha$ 生成的子空间，即 $\theta(\alpha) = a_\alpha \alpha$。

取定非零向量 $\alpha$。由于 $\alpha \neq 0$，存在矩阵 $P$ 使得 $P\alpha = e_1$。令 $A = \alpha e_1^T P$，则 $A\alpha = \alpha$。由条件，$\theta(\alpha) = \theta(A\alpha) = A\theta(\alpha)$。因此 $\theta(\alpha)$ 是 $A$ 的属于特征值1的特征向量。但 $A$ 的像空间是 $\operatorname{span}\{\alpha\}$，所以 $\theta(\alpha) \in \operatorname{span}\{\alpha\}$，即存在 $a_\alpha \in \mathbb{C}$ 使得 $\theta(\alpha) = a_\alpha \alpha$。

取任意两个非零向量 $\alpha, \beta$。若 $\beta = k\alpha$，则 $\theta(\beta) = k\theta(\alpha) = k a_\alpha \alpha = a_\alpha \beta$，所以 $a_\beta = a_\alpha$。若 $\alpha, \beta$ 线性无关，则考虑 $\alpha+\beta$。由线性性，$\theta(\alpha+\beta) = \theta(\alpha)+\theta(\beta) = a_\alpha \alpha + a_\beta \beta$。另一方面，由上述结论，存在 $a_{\alpha+\beta}$ 使得 $\theta(\alpha+\beta) = a_{\alpha+\beta}(\alpha+\beta)$。因此 $a_{\alpha+\beta}\alpha + a_{\alpha+\beta}\beta = a_\alpha \alpha + a_\beta \beta$。由于 $\alpha, \beta$ 线性无关，比较系数得 $a_{\alpha+\beta} = a_\alpha$ 且 $a_{\alpha+\beta} = a_\beta$，故 $a_\alpha = a_\beta$。因此所有非零向量对应的常数相同，记为 $a$。对于零向量，$\theta(0)=0=a\cdot 0$ 自然成立。

因此存在常数 $a \in \mathbb{C}$，使得对任意 $\alpha \in \mathbb{C}^n$，有 $\theta(\alpha) = a\alpha$。即 $\theta$ 是数乘变换。