华中师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
8．设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $n$ 个复数，且满足
$$
\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}^{2}=\cdots=\lambda_{1}^{n}+\lambda_{2}^{n}+\cdots+\lambda_{n}^{n}=0 .
$$
证明：$\lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入多项式与初等对称多项式
设 $f(x) = (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_n) = x^n - a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} - \cdots + (-1)^n a_n$，其中 $a_k$ 是初等对称多项式，即 $a_1 = \sum_i \lambda_i$, $a_2 = \sum_{i
公式：$f(x) = \prod_{i=1}^n (x-\lambda_i) = x^n - a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} - \cdots + (-1)^n a_n$
提示：注意符号：$a_k$ 前的符号为 $(-1)^k$。
步骤 2/7
目标：回忆牛顿恒等式
牛顿恒等式建立了幂和 $p_k = \lambda_1^k + \cdots + \lambda_n^k$ 与初等对称多项式 $a_k$ 之间的关系：对于 $1 \leq k \leq n$，有
$$k a_k = \sum_{i=1}^k (-1)^{i-1} a_{k-i} p_i,$$
其中 $a_0 = 1$。
公式：$k a_k = \sum_{i=1}^k (-1)^{i-1} a_{k-i} p_i$
提示：注意 $a_0 = 1$，且求和从 $i=1$ 到 $k$。
步骤 3/7
目标：代入已知条件
已知 $p_1 = p_2 = \cdots = p_n = 0$。代入牛顿恒等式，对于 $k=1$：
$$1 \cdot a_1 = a_0 p_1 = 1 \cdot 0 = 0,$$
所以 $a_1 = 0$。
提示：代入时注意 $a_0=1$。
步骤 4/7
目标：递推计算 $a_2$
对于 $k=2$：
$$2 a_2 = a_1 p_1 - a_0 p_2 = 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0 = 0,$$
所以 $a_2 = 0$。
提示：注意符号：$(-1)^{i-1}$ 当 $i=1$ 时为 $1$，$i=2$ 时为 $-1$。
步骤 5/7
目标：归纳证明所有 $a_k=0$
假设 $a_1 = a_2 = \cdots = a_{k-1} = 0$，则对于 $k$，牛顿恒等式右边求和中的 $a_{k-i}$ 当 $i
提示：归纳步骤中注意 $a_{k-i}$ 的下标：当 $i
步骤 6/7
目标：得出多项式形式
由于所有 $a_k = 0$，多项式 $f(x) = x^n$。因此 $f(x) = x^n = \prod_{i=1}^n (x-\lambda_i)$，即 $x^n$ 的根全为 $0$，所以每个 $\lambda_i = 0$。
公式：$f(x) = x^n$
提示：注意 $f(x)$ 是首一多项式，根的重数之和为 $n$。
步骤 7/7
目标：结论
因此 $\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 0$。
提示：结论直接由多项式唯一分解得到。
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