华中师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
2．三阶矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 的逆矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别矩阵类型
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ 是上三角矩阵，其逆矩阵也是上三角矩阵。
提示：上三角矩阵的逆矩阵仍为上三角矩阵，可设未知数简化计算。
步骤 2/6
目标：设逆矩阵形式
设 $A^{-1} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{pmatrix}$，其中 $a,b,c,d,e,f$ 为待求元素。
提示：注意逆矩阵也是上三角，左下角三个元素为零。
步骤 3/6
目标：计算乘积 $AA^{-1}$
计算 $AA^{-1}$：
$$AA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b+d & c+e+f \\ 0 & 2d & 2e+f \\ 0 & 0 & 3f \end{pmatrix}.$$
公式：矩阵乘法公式
提示：注意矩阵乘法时行乘列，上三角相乘仍为上三角。
步骤 4/6
目标：建立方程组
令 $AA^{-1} = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，得到方程组：
\[
\begin{cases}
a = 1, \\
b + d = 0, \\
c + e + f = 0, \\
2d = 1, \\
2e + f = 0, \\
3f = 1.
\end{cases}
\]
提示：对应位置元素相等，注意每个方程的正确性。
步骤 5/6
目标：解方程组求元素
由 $a=1$，$2d=1$ 得 $d=\frac{1}{2}$，$3f=1$ 得 $f=\frac{1}{3}$。
代入 $b+d=0$ 得 $b = -\frac{1}{2}$。
代入 $2e+f=0$ 得 $2e + \frac{1}{3} = 0$，$e = -\frac{1}{6}$。
代入 $c+e+f=0$ 得 $c - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = 0$，$c = -\frac{1}{6}$。
提示：解方程时注意分数运算，避免符号错误。
步骤 6/6
目标：写出逆矩阵
因此，
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.$$
提示：最终结果应检查是否满足 $AA^{-1}=I$。
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