华中师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
7．计算 $n$ 阶行列式
$$
\left|\begin{array}{cccccc}
2 & -4 & & & & \\
2 & 2 & -4 & & & \\
& 2 & 2 & \ddots & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & \ddots & 2 & -4 \\
& & & & 2 & 2
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立递推关系
设 $D_n$ 为 $n$ 阶行列式。按第一行展开：第一行第一个元素为2，其代数余子式为 $D_{n-1}$；第一行第二个元素为-4，其代数余子式为 $(-1)^{1+2} \cdot 2 \cdot D_{n-2} = -2 D_{n-2}$。因此 $D_n = 2 D_{n-1} - (-4) \cdot (-2 D_{n-2}) = 2 D_{n-1} - 8 D_{n-2}$。
公式：D_n = 2 D_{n-1} - 8 D_{n-2}
提示：注意符号：展开时，-4位于第1行第2列，代数余子式带负号，且其子式是2乘以 $D_{n-2}$。
步骤 2/7
目标：计算初始条件
计算 $D_1 = 2$。计算 $D_2 = \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2 \times 2 - (-4) \times 2 = 4 + 8 = 12$。
提示：二阶行列式计算时，注意对角线乘积相减。
步骤 3/7
目标：求解特征方程
递推关系对应的特征方程为 $r^2 - 2r + 8 = 0$。解得 $r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}i$。
公式：r^2 - 2r + 8 = 0
提示：特征方程由递推关系直接得到：$D_n - 2D_{n-1} + 8D_{n-2}=0$，对应 $r^2 - 2r + 8=0$。
步骤 4/7
目标：写出通解形式
由于特征根为共轭复数，通解为 $D_n = A(1+\sqrt{7}i)^n + B(1-\sqrt{7}i)^n$，其中 $A,B$ 为待定常数。
公式：D_n = A(1+\sqrt{7}i)^n + B(1-\sqrt{7}i)^n
提示：注意复数根成对出现，通解形式正确。
步骤 5/7
目标：代入初始条件求常数
代入 $n=1$: $A(1+\sqrt{7}i) + B(1-\sqrt{7}i) = 2$。代入 $n=2$: $A(1+\sqrt{7}i)^2 + B(1-\sqrt{7}i)^2 = 12$。计算 $(1+\sqrt{7}i)^2 = 1 + 2\sqrt{7}i - 7 = -6 + 2\sqrt{7}i$，同理 $(1-\sqrt{7}i)^2 = -6 - 2\sqrt{7}i$。解方程组得 $A = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{7}}i$，$B = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{7}}i$。
提示：解复数方程组时，将实部虚部分别相等。
步骤 6/7
目标：化简为三角形式
令 $1+\sqrt{7}i = 2\sqrt{2} e^{i\theta}$，其中 $\cos\theta = \frac{1}{2\sqrt{2}}$，$\sin\theta = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$，则 $\theta = \arctan\sqrt{7}$。于是 $D_n = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{7}}i\right) (2\sqrt{2})^n e^{in\theta} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{7}}i\right) (2\sqrt{2})^n e^{-in\theta}$。提取公因子 $(2\sqrt{2})^n = 2^{\frac{3n}{2}}$，并利用欧拉公式化简得 $D_n = 2^{\frac{3n}{2}-1} \left[ \cos(n\theta) + \frac{1}{\sqrt{7}} \sin(n\theta) \right]$。
公式：D_n = 2^{\frac{3n}{2}-1} \left( \cos(n\theta) + \frac{1}{\sqrt{7}} \sin(n\theta) \right)
提示：注意提取公因子时指数运算正确，并利用 $\cos$ 和 $\sin$ 的线性组合表示。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
因此，$n$ 阶行列式的值为 $D_n = 2^{\frac{3n}{2}-1} \left( \cos(n\theta) + \frac{1}{\sqrt{7}} \sin(n\theta) \right)$，其中 $\theta = \arctan\sqrt{7}$。
提示：最终答案应包含参数 $\theta$ 的定义。
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