华中师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
11．设 $\mathbb{R}$ 为实数域，$A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ，在三维列向量空间 $\mathbb{R}^{3}$ 上定义双线性型
$$
f_{A}(X, Y)=X^{T} A Y, \forall X, Y \in \mathbb{R}^{3} .
$$
这里 $X^{T}$ 表示 $X$ 的转置．
（1）证明（ $\left.\mathbb{R}^{3}, f_{A}(),\right)$ 是一个欧氏空间；
（2）求上述欧氏空间的一组标准正交基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明对称性
由于 $A$ 是实对称矩阵，即 $A^T = A$，对于任意 $X, Y \in \mathbb{R}^3$，有 $f_A(X,Y) = X^T A Y$。计算 $f_A(Y,X) = Y^T A X = (Y^T A X)^T = X^T A^T Y = X^T A Y = f_A(X,Y)$，因此 $f_A$ 是对称双线性型。
公式：f_A(X,Y) = X^T A Y, \quad A^T = A
提示：注意转置的性质：$(Y^T A X)^T = X^T A^T Y$。
步骤 2/6
目标：证明正定性
计算矩阵 $A$ 的特征值。解特征方程 $\det(\lambda I - A) = 0$：
$$
\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -2 & 2 \\ -2 & \lambda-5 & 4 \\ 2 & 4 & \lambda-5 \end{vmatrix} = (\lambda-1)^2(\lambda-10) = 0.
$$
特征值为 $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = 10$，全部为正。因此 $A$ 正定，对任意非零 $X$，$f_A(X,X) = X^T A X > 0$。故 $f_A$ 是正定对称双线性型，$\mathbb{R}^3$ 构成欧氏空间。
公式：\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)^2(\lambda-10)
提示：计算行列式时注意行变换或展开技巧，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：求特征值1的特征向量
解齐次线性方程组 $(A - I)X = 0$：
$$
A - I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 4 & -4 \\ -2 & -4 & 4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
$$
基础解系为 $\alpha_1 = (-2,1,0)^T$，$\alpha_2 = (2,0,1)^T$。
公式：(A - I)X = 0
提示：注意自由变量的选取，确保两个向量线性无关。
步骤 4/6
目标：求特征值10的特征向量
解 $(A - 10I)X = 0$：
$$
A - 10I = \begin{pmatrix} -8 & 2 & -2 \\ 2 & -5 & -4 \\ -2 & -4 & -5 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -5 & -4 \\ 0 & -18 & -18 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
$$
得 $x_2 = -x_3$，$x_1 = \frac{1}{2}x_3$，取 $\alpha_3 = (1,-2,2)^T$。
公式：(A - 10I)X = 0
提示：化简行阶梯形时注意系数，避免分数错误。
步骤 5/6
目标：在f_A内积下对特征值1的特征向量正交化
在 $f_A$ 内积下，不同特征值的特征向量正交，但同一特征值的特征向量不一定正交。对 $\alpha_1, \alpha_2$ 进行 Schmidt 正交化。
取 $\beta_1 = \alpha_1 = (-2,1,0)^T$。
计算 $f_A(\alpha_2, \beta_1) = \alpha_2^T A \beta_1 = (2,0,1) \cdot (-2,1,0)^T = -4$（因为 $A\beta_1 = \beta_1$）。
$f_A(\beta_1, \beta_1) = \beta_1^T A \beta_1 = \beta_1^T \beta_1 = 5$。
则 $\beta_2 = \alpha_2 - \frac{f_A(\alpha_2, \beta_1)}{f_A(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 = (2,0,1) - \frac{-4}{5}(-2,1,0) = (\frac{2}{5}, \frac{4}{5}, 1)$。为方便，取 $\beta_2 = (2,4,5)^T$。
公式：\beta_2 = \alpha_2 - \frac{f_A(\alpha_2, \beta_1)}{f_A(\beta_1, \beta_1)} \beta_1
提示：注意内积是 $f_A$ 而不是标准内积；正交化时系数用 $f_A$ 内积计算。
步骤 6/6
目标：单位化得到标准正交基
计算各向量的 $f_A$ 长度：
$\|\beta_1\| = \sqrt{f_A(\beta_1,\beta_1)} = \sqrt{5}$。
$\|\beta_2\| = \sqrt{f_A(\beta_2,\beta_2)} = \sqrt{\beta_2^T \beta_2} = \sqrt{4+16+25} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$（因为 $\beta_2$ 属于特征值1的子空间，$A\beta_2 = \beta_2$）。
$\|\alpha_3\| = \sqrt{f_A(\alpha_3,\alpha_3)} = \sqrt{10 \alpha_3^T \alpha_3} = \sqrt{10 \cdot 9} = 3\sqrt{10}$。
单位化得：
$$
\varepsilon_1 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|} = \frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1,0)^T,
\quad
\varepsilon_2 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|} = \frac{1}{3\sqrt{5}}(2,4,5)^T,
\quad
\varepsilon_3 = \frac{\alpha_3}{\|\alpha_3\|} = \frac{1}{3\sqrt{10}}(1,-2,2)^T.
$$
公式：\varepsilon_i = \frac{v_i}{\sqrt{f_A(v_i,v_i)}}
提示：注意 $f_A$ 内积下，特征向量长度计算：若 $Av = \lambda v$，则 $f_A(v,v) = \lambda \|v\|^2$（标准内积）。
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