华中师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
10．证明：向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{k}$ 线性无关当且仅当存在 $\alpha \in L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{k}\right)$ 是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{k}$ 的唯一线性组合。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：必要性：假设向量组线性无关，证明存在唯一组合
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ 线性无关。则对任意 $\alpha \in L(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k)$，存在一组系数 $c_1, c_2, \cdots, c_k$ 使得 $\alpha = c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + \cdots + c_k\alpha_k$。假设有两种表示：$\alpha = \sum_{i=1}^k c_i\alpha_i = \sum_{i=1}^k d_i\alpha_i$，则 $\sum_{i=1}^k (c_i - d_i)\alpha_i = 0$。由线性无关知 $c_i - d_i = 0$，即 $c_i = d_i$，故表示唯一。特别地，取 $\alpha = \alpha_1$，其组合系数唯一。因此存在 $\alpha$ 是唯一线性组合。
公式：$\sum_{i=1}^k (c_i - d_i)\alpha_i = 0 \Rightarrow c_i = d_i$
提示：注意唯一性要求任意向量都有唯一表示，但这里只需存在一个向量有唯一表示即可。
步骤 2/6
目标：充分性：假设存在唯一组合，证明向量组线性无关
假设存在 $\alpha \in L(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k)$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ 的唯一线性组合，即存在唯一的一组系数 $c_1, c_2, \cdots, c_k$ 使得 $\alpha = \sum_{i=1}^k c_i\alpha_i$。要证 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ 线性无关。
提示：充分性证明常用反证法。
步骤 3/6
目标：反证法假设向量组线性相关
反证：若向量组线性相关，则存在不全为零的系数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$ 使得 $\sum_{i=1}^k \lambda_i\alpha_i = 0$。
公式：$\sum_{i=1}^k \lambda_i\alpha_i = 0$，且 $\lambda_i$ 不全为零
提示：线性相关的定义：存在不全为零的系数使线性组合为零。
步骤 4/6
目标：构造另一个不同的线性组合
那么对于 $\alpha$ 的表示，有 $\alpha = \sum_{i=1}^k c_i\alpha_i = \sum_{i=1}^k (c_i + \lambda_i)\alpha_i$。由于 $\lambda_i$ 不全为零，这给出了 $\alpha$ 的另一个不同的线性组合，与唯一性矛盾。
公式：$\alpha = \sum_{i=1}^k c_i\alpha_i = \sum_{i=1}^k (c_i + \lambda_i)\alpha_i$
提示：注意 $c_i + \lambda_i$ 与 $c_i$ 不同，因为 $\lambda_i$ 不全为零。
步骤 5/6
目标：得出结论
因此假设不成立，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ 线性无关。
提示：反证法结论要明确。
步骤 6/6
目标：总结命题
综上，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ 线性无关当且仅当存在 $\alpha \in L(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k)$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ 的唯一线性组合。
提示：注意“存在”而不是“任意”。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。