华中师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^{2}=A, \operatorname{rank}(A)=r$ ，则 $\operatorname{det}\left(A+2 E_{n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别矩阵类型
已知 $A^2 = A$，所以 $A$ 是幂等矩阵。幂等矩阵的特征值只能是 $0$ 或 $1$。
公式：$A^2 = A$
提示：注意幂等矩阵的定义：$A^2 = A$。
步骤 2/5
目标：确定特征值的重数
由于 $\operatorname{rank}(A) = r$，且 $A$ 是幂等矩阵，其秩等于非零特征值的个数（考虑代数重数），所以特征值 $1$ 的代数重数为 $r$，特征值 $0$ 的代数重数为 $n-r$。
公式：$\operatorname{rank}(A) = r$
提示：幂等矩阵的秩等于迹，也等于非零特征值的个数。
步骤 3/5
目标：推导 $A+2E_n$ 的特征值
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $A+2E_n$ 的特征值为 $\lambda + 2$。因此，$A+2E_n$ 的特征值为：$1+2=3$（$r$ 重）和 $0+2=2$（$n-r$ 重）。
公式：$\det(A+2E_n) = \prod (\lambda_i + 2)$
提示：注意：矩阵加标量矩阵的特征值是原特征值加标量。
步骤 4/5
目标：计算行列式
行列式等于所有特征值的乘积，所以 $\det(A+2E_n) = 3^r \cdot 2^{n-r}$。
公式：$\det(M) = \prod \lambda_i$
提示：特征值乘积时注意重数。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，$\det(A+2E_n) = 3^r \cdot 2^{n-r}$。
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