📝 华中师范大学 2026年高等代数真题

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$A^{*}$ 是其伴随矩阵，若 $\operatorname{det}(A)=2$ ，则 $\operatorname{det}\left(\left(3 A^{*}\right)^{-1}+2 A\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

2．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^{2}=A, \operatorname{rank}(A)=r$ ，则 $\operatorname{det}\left(A+2 E_{n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

3．设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，$A B-B A=A$ ，则 $\operatorname{tr}\left(A^{2026}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $V$ 是数域 $F$ 上的 5 维向量空间，$W_{1}$ 和 $W_{2}$ 都是 $V$ 的 3 维子空间，则 $\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)$ 的可能值为 $\_\_\_\_$ ．

5．实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1} x_{2}+x_{3}^{2}-x_{3} x_{4}-x_{4}^{2}$ 的正惯性指数为 $\_\_\_\_$ ．

6．已知三阶正交阵 $A$ 的迹 $\operatorname{tr}(A)=-2$ ，则 $A$ 的特征值为 $\_\_\_\_$。

7．设 $\Psi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的可逆线性变换，$V$ 的子空间 $W$ 是 $\Psi$ 的不变子空间，证明：$W$ 也是 $\Psi^{-1}$ 的不变子空间。

8．解答如下问题：
（1）设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k}$ 是 $A$ 的不同特征值，$X_{i}$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda_{i}$ 的特征向量，证明：向量组 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{k}$ 线性无关．
（2）设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 的特征值都是实数．
（3）设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 的属于不同特征值的特征向量彼此正交．

9．设 $M_{n}(\mathbb{C})$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 阶方阵构成的复向量空间，令 $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，定义咉射

$$
\operatorname{ad}_{A}: M_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow M_{n}(\mathbb{C}), \operatorname{ad}_{A}(X)=A X-X A
$$

（1）证明： $\operatorname{ad}_{A}$ 是线性变换。
（2）若 $A$ 可相似对角化，证明：存在 $M_{n}(\mathbb{C})$ 的一组基底，使得 $\operatorname{ad}_{A}$ 在这组基下的矩阵为对角阵。
（3）若 $A$ 是幂零矩阵，证明： $\operatorname{ad}_{A}$ 是幂零的线性变换．

10．设 $M_{2}(\mathbb{C})$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 2 阶矩阵构成的复向量空间，$A, B, C \in M_{2}(\mathbb{C})$ 且线性无关，证明：存在复数 $a, b, c$ 使得 $a A+b B+c C$ 是可逆矩阵．

11．设 $A$ 是三阶实对称矩阵， 1 是 $A$ 的一个特征值， $\operatorname{tr}(A)=5$ ．
（1）若存在无穷个多个三阶正交阵 $R$ 使得 $R^{-1} A R$ 为对角阵，求该对角阵并说明理由．
（2）若只有有限个三阶正交阵 $R$ 使得 $R^{-1} A R$ 为对角阵，求该类正交阵 $R$ 的个数．

12．设 $A=\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\alpha, \beta$ 都是复数域上的 $n$ 维非零列向量．
（1）求 $A$ 的极小多项式和特征多项式．
（2）求 $A$ 的若尔当标准形．

13．设 $A, B$ 都是复数域上的 $n$ 阶方阵，证明： $\operatorname{rank}(A B) \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-n$ ．