华中师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
12．设 $A=\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\alpha, \beta$ 都是复数域上的 $n$ 维非零列向量．
（1）求 $A$ 的极小多项式和特征多项式．
（2）求 $A$ 的若尔当标准形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵结构
设 $A = \alpha \beta^{\mathrm{T}}$，其中 $\alpha, \beta \in \mathbb{C}^n$ 非零。由于 $A$ 的每一列都是 $\alpha$ 的倍数，故 $\operatorname{rank}(A)=1$。
提示：注意 $\alpha$ 和 $\beta$ 是列向量，$\beta^{\mathrm{T}}$ 是行向量。
步骤 2/6
目标：求特征多项式
因为 $A$ 是秩1矩阵，所以 $0$ 是特征值，且几何重数为 $n-1$（因为零空间维数至少为 $n-1$）。另一个特征值为 $\operatorname{tr}(A) = \beta^{\mathrm{T}} \alpha$（因为 $\operatorname{tr}(\alpha \beta^{\mathrm{T}}) = \beta^{\mathrm{T}} \alpha$）。因此特征多项式为 $f(\lambda) = \lambda^{n-1}(\lambda - \beta^{\mathrm{T}} \alpha)$。
公式：$f(\lambda) = \lambda^{n-1}(\lambda - \beta^{\mathrm{T}} \alpha)$
提示：特征多项式是 $\det(\lambda I - A)$，但利用秩1性质可直接得到特征值。
步骤 3/6
目标：求极小多项式（分情况）
计算 $A^2 = \alpha \beta^{\mathrm{T}} \alpha \beta^{\mathrm{T}} = (\beta^{\mathrm{T}} \alpha) \alpha \beta^{\mathrm{T}} = (\beta^{\mathrm{T}} \alpha) A$。因此 $A$ 满足 $A^2 - (\beta^{\mathrm{T}} \alpha) A = 0$。
- 若 $\beta^{\mathrm{T}} \alpha \neq 0$，则 $A$ 零化多项式为 $\lambda(\lambda - \beta^{\mathrm{T}} \alpha)$，且 $A$ 不是数量矩阵，故极小多项式为 $m(\lambda) = \lambda(\lambda - \beta^{\mathrm{T}} \alpha)$。
- 若 $\beta^{\mathrm{T}} \alpha = 0$，则 $A^2=0$，且 $A \neq 0$，故极小多项式为 $m(\lambda) = \lambda^2$。
公式：$A^2 = (\beta^{\mathrm{T}} \alpha) A$
提示：注意 $\beta^{\mathrm{T}} \alpha$ 是一个数（内积），不是向量。
步骤 4/6
目标：确定若尔当标准形（情况1：$\beta^{\mathrm{T}} \alpha \neq 0$）
当 $\beta^{\mathrm{T}} \alpha \neq 0$ 时，极小多项式无重根，故 $A$ 可对角化。特征值 $\beta^{\mathrm{T}} \alpha$ 的代数重数为1，几何重数为1；特征值0的代数重数为 $n-1$，几何重数为 $n-1$。因此若尔当标准形为对角矩阵：$J = \operatorname{diag}(\beta^{\mathrm{T}} \alpha, 0, \dots, 0)$。
公式：$J = \operatorname{diag}(\beta^{\mathrm{T}} \alpha, 0, \dots, 0)$
提示：可对角化的充要条件是极小多项式无重根。
步骤 5/6
目标：确定若尔当标准形（情况2：$\beta^{\mathrm{T}} \alpha = 0$）
当 $\beta^{\mathrm{T}} \alpha = 0$ 时，$A$ 是幂零矩阵，且 $\operatorname{rank}(A)=1$。由于 $A^2=0$，所以 $A$ 的若尔当块中最大阶数为2。又因为 $\operatorname{rank}(A)=1$，所以2阶若尔当块的个数为1（因为每个2阶若尔当块贡献秩1），其余 $n-2$ 个特征值0的若尔当块为1阶。因此若尔当标准形为 $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ 0 & 0 & & \\ & & 0 & \\ & & & \ddots \end{pmatrix}$（一个2阶若尔当块和 $n-2$ 个1阶若尔当块）。
公式：$J = J_2(0) \oplus 0_{n-2}$
提示：幂零矩阵的若尔当标准形由零特征值的若尔当块组成，秩决定了最大若尔当块的个数。
步骤 6/6
目标：总结答案
（1）特征多项式：$f(\lambda) = \lambda^{n-1}(\lambda - \beta^{\mathrm{T}} \alpha)$。极小多项式：若 $\beta^{\mathrm{T}} \alpha \neq 0$，则 $m(\lambda) = \lambda(\lambda - \beta^{\mathrm{T}} \alpha)$；若 $\beta^{\mathrm{T}} \alpha = 0$，则 $m(\lambda) = \lambda^2$。
（2）若尔当标准形：若 $\beta^{\mathrm{T}} \alpha \neq 0$，则 $J = \operatorname{diag}(\beta^{\mathrm{T}} \alpha, 0, \dots, 0)$；若 $\beta^{\mathrm{T}} \alpha = 0$，则 $J$ 有一个2阶若尔当块和 $n-2$ 个1阶若尔当块。
提示：注意区分两种情况。
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