华中师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，$A B-B A=A$ ，则 $\operatorname{tr}\left(A^{2026}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用迹的性质推导tr(A)=0
由已知条件 $AB - BA = A$，即 $AB = BA + A = A(B + I)$。两边取迹，得 $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(A(B+I))$。利用迹的性质 $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$，有 $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) + \operatorname{tr}(A)$，即 $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(AB) + \operatorname{tr}(A)$，所以 $\operatorname{tr}(A)=0$。
公式：$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$
提示：注意迹的线性性质：$\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)$，以及$\operatorname{tr}(cA)=c\operatorname{tr}(A)$。
步骤 2/4
目标：归纳证明交换子关系
由 $AB - BA = A$ 可得 $A$ 与 $B$ 满足交换子关系。用数学归纳法证明 $A^k B - B A^k = k A^k$。当 $k=1$ 时成立。假设 $k$ 成立，则
\[
A^{k+1}B = A(A^k B) = A(BA^k + k A^k) = (AB)A^k + k A^{k+1} = (BA + A)A^k + k A^{k+1} = BA^{k+1} + (k+1)A^{k+1},
\]
所以 $A^{k+1}B - B A^{k+1} = (k+1)A^{k+1}$。
公式：$A^k B - B A^k = k A^k$
提示：归纳步骤中注意矩阵乘法不交换，但可以利用已知关系进行替换。
步骤 3/4
目标：对归纳结果取迹
对 $A^{k+1}B - B A^{k+1} = (k+1)A^{k+1}$ 两边取迹，得 $\operatorname{tr}(A^{k+1}B - B A^{k+1}) = (k+1)\operatorname{tr}(A^{k+1})$。左边 $\operatorname{tr}(A^{k+1}B - B A^{k+1}) = \operatorname{tr}(A^{k+1}B) - \operatorname{tr}(B A^{k+1}) = 0$，所以 $(k+1)\operatorname{tr}(A^{k+1})=0$，即 $\operatorname{tr}(A^{k+1})=0$ 对所有 $k\ge 1$ 成立。
公式：$\operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX)$
提示：注意迹的循环性质：$\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CAB)$，但这里直接使用交换性即可。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
由上述结论，$\operatorname{tr}(A^{k})=0$ 对所有正整数 $k$ 成立。特别地，取 $k=2026$，得 $\operatorname{tr}(A^{2026})=0$。
提示：注意归纳证明中 $k$ 从1开始，$\operatorname{tr}(A)=0$ 已证，所以所有幂次迹均为0。
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