华中师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
8．解答如下问题：
（1）设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k}$ 是 $A$ 的不同特征值，$X_{i}$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda_{i}$ 的特征向量，证明：向量组 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{k}$ 线性无关．
（2）设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 的特征值都是实数．
（3）设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 的属于不同特征值的特征向量彼此正交．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设线性组合为零
设存在一组数 $c_1, c_2, \cdots, c_k$，使得 $c_1 X_1 + c_2 X_2 + \cdots + c_k X_k = 0$。
提示：注意特征向量非零。
步骤 2/6
目标：用A的幂次左乘得到方程组
用 $A$ 左乘上式得 $c_1 \lambda_1 X_1 + c_2 \lambda_2 X_2 + \cdots + c_k \lambda_k X_k = 0$。类似地，用 $A^2, \dots, A^{k-1}$ 左乘，得到 $k$ 个方程：
\[
\begin{cases}
c_1 X_1 + c_2 X_2 + \cdots + c_k X_k = 0, \\
c_1 \lambda_1 X_1 + c_2 \lambda_2 X_2 + \cdots + c_k \lambda_k X_k = 0, \\
\vdots \\
c_1 \lambda_1^{k-1} X_1 + c_2 \lambda_2^{k-1} X_2 + \cdots + c_k \lambda_k^{k-1} X_k = 0.
\end{cases}
\]
公式：$A X_i = \lambda_i X_i$
提示：注意特征值互不相同，这是使用范德蒙德矩阵的前提。
步骤 3/6
目标：写成矩阵形式并利用范德蒙德矩阵可逆
将方程组写成矩阵形式：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\lambda_1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_k \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda_1^{k-1} & \lambda_2^{k-1} & \cdots & \lambda_k^{k-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 X_1 \\ c_2 X_2 \\ \vdots \\ c_k X_k
\end{pmatrix} = 0.
\]
左边矩阵是范德蒙德矩阵，由于特征值互不相同，其行列式非零，因此可逆。从而 $c_1 X_1 = c_2 X_2 = \cdots = c_k X_k = 0$。
公式：范德蒙德行列式 $\prod_{1 \le i < j \le k} (\lambda_j - \lambda_i) \neq 0$
提示：范德蒙德矩阵可逆当且仅当特征值互异。
步骤 4/6
目标：推出系数全为零
由于 $X_i \neq 0$，由 $c_i X_i = 0$ 得 $c_i = 0$ 对所有 $i$ 成立。因此向量组 $X_1, X_2, \cdots, X_k$ 线性无关。
提示：特征向量非零是重要条件。
步骤 5/6
目标：证明实对称矩阵的特征值为实数
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$X$ 是相应的特征向量，即 $A X = \lambda X$。取共轭得 $\overline{A} \overline{X} = \overline{\lambda} \overline{X}$。由于 $A$ 是实矩阵，$\overline{A} = A$，所以 $A \overline{X} = \overline{\lambda} \overline{X}$。考虑内积 $(X, \overline{X})$，有
\[
\lambda (X, \overline{X}) = (\lambda X, \overline{X}) = (A X, \overline{X}) = (X, A^T \overline{X}) = (X, A \overline{X}) = (X, \overline{\lambda} \overline{X}) = \overline{\lambda} (X, \overline{X}).
\]
因为 $X \neq 0$，$(X, \overline{X}) = \|X\|^2 > 0$，所以 $\lambda = \overline{\lambda}$，即 $\lambda$ 是实数。
公式：$(A X, Y) = (X, A^T Y)$
提示：注意共轭运算和内积的性质，实对称矩阵满足 $A^T = A$。
步骤 6/6
目标：证明不同特征值的特征向量正交
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是 $A$ 的两个不同特征值，$X_1, X_2$ 分别是属于它们的特征向量，即 $A X_1 = \lambda_1 X_1$，$A X_2 = \lambda_2 X_2$。考虑内积 $(X_1, X_2)$，有
\[
\lambda_1 (X_1, X_2) = (\lambda_1 X_1, X_2) = (A X_1, X_2) = (X_1, A^T X_2) = (X_1, A X_2) = (X_1, \lambda_2 X_2) = \lambda_2 (X_1, X_2).
\]
因此 $(\lambda_1 - \lambda_2)(X_1, X_2) = 0$。由于 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，得 $(X_1, X_2) = 0$，即 $X_1$ 与 $X_2$ 正交。
公式：$(A X, Y) = (X, A^T Y)$
提示：注意实对称矩阵保证内积的对称性，且特征值不同是正交的关键。
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