华中师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
13．设 $A, B$ 都是复数域上的 $n$ 阶方阵，证明： $\operatorname{rank}(A B) \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入线性映射观点
考虑线性映射 $B: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ 和 $A: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$，则 $AB$ 是复合映射。核空间满足 $\ker(AB) \supseteq \ker(B)$，且 $\ker(AB) = B^{-1}(\ker(A) \cap \operatorname{Im}(B))$。
提示：注意核空间包含关系，但不等号方向容易混淆。
步骤 2/5
目标：建立核空间维数不等式
考虑映射 $B$ 限制在 $\ker(AB)$ 上：$B|_{\ker(AB)}: \ker(AB) \to \ker(A)$。该映射的核为 $\ker(B)$，像为 $\ker(A) \cap \operatorname{Im}(B)$。由维数公式：$\dim\ker(AB) = \dim\ker(B) + \dim(\ker(A) \cap \operatorname{Im}(B)) \leq \dim\ker(B) + \dim\ker(A)$。
公式：维数公式：$\dim V = \dim\ker f + \dim\operatorname{Im}f$
提示：注意 $\ker(A) \cap \operatorname{Im}(B) \subseteq \ker(A)$，所以其维数不超过 $\dim\ker(A)$。
步骤 3/5
目标：代入维数关系
由维数公式：$\dim\ker(AB) = n - \operatorname{rank}(AB)$，$\dim\ker(B) = n - \operatorname{rank}(B)$，$\dim\ker(A) = n - \operatorname{rank}(A)$。代入不等式得：$n - \operatorname{rank}(AB) \leq (n - \operatorname{rank}(B)) + (n - \operatorname{rank}(A))$。
公式：维数公式：$\dim\ker T = n - \operatorname{rank} T$
提示：确保所有矩阵都是 $n$ 阶方阵，维数公式中的 $n$ 是定义域维数。
步骤 4/5
目标：化简得到Sylvester不等式
移项整理：$-\operatorname{rank}(AB) \leq n - \operatorname{rank}(B) - \operatorname{rank}(A)$，即 $\operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n$。
公式：Sylvester秩不等式：$\operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n$
提示：注意不等号方向，移项时小心符号。
步骤 5/5
目标：补充：分块矩阵方法（可选）
构造分块矩阵 $\begin{pmatrix} I_n & B \\ A & 0 \end{pmatrix}$，通过初等变换可化为 $\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ 0 & -AB \end{pmatrix}$，其秩为 $n + \operatorname{rank}(AB)$。另一方面，该矩阵的秩不小于 $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$？实际上，由分块矩阵秩的下界：$\operatorname{rank}\begin{pmatrix} I_n & B \\ A & 0 \end{pmatrix} \geq \operatorname{rank}(I_n) + \operatorname{rank}(0) = n$，但无法直接得到所需不等式。更精确地，利用Schur补可得等式，从而间接证明。
公式：Schur补：$\operatorname{rank}\begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix} = \operatorname{rank}(P) + \operatorname{rank}(S - RP^{-1}Q)$ 若 $P$ 可逆
提示：分块矩阵方法需注意可逆性条件，此处 $I_n$ 可逆。
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