华中师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $V$ 是数域 $F$ 上的 5 维向量空间，$W_{1}$ 和 $W_{2}$ 都是 $V$ 的 3 维子空间，则 $\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)$ 的可能值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件
已知 $V$ 是数域 $F$ 上的 5 维向量空间，$W_1$ 和 $W_2$ 都是 $V$ 的 3 维子空间。即 $\dim V = 5$，$\dim W_1 = \dim W_2 = 3$。
提示：注意子空间的维数不能超过整个空间的维数。
步骤 2/7
目标：回忆维数公式
对于向量空间 $V$ 的两个子空间 $W_1$ 和 $W_2$，有维数公式：
$$\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2).$$
公式：$$\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)$$
提示：维数公式是处理子空间交与和维数的基本工具，注意不要记错符号。
步骤 3/7
目标：代入已知维数
将 $\dim W_1 = 3$，$\dim W_2 = 3$ 代入维数公式，得：
$$\dim(W_1 + W_2) = 3 + 3 - \dim(W_1 \cap W_2) = 6 - \dim(W_1 \cap W_2).$$
提示：代入时注意计算准确。
步骤 4/7
目标：确定和空间的维数范围
由于 $W_1 + W_2$ 是 $V$ 的子空间，所以 $\dim(W_1 + W_2) \leq \dim V = 5$。同时，$W_1 + W_2$ 包含 $W_1$ 和 $W_2$，因此 $\dim(W_1 + W_2) \geq \max\{\dim W_1, \dim W_2\} = 3$。所以 $\dim(W_1 + W_2)$ 的可能取值为 $3, 4, 5$。
提示：注意和空间维数的下界是取两个子空间维数的最大值，而不是最小值。
步骤 5/7
目标：计算交空间维数的可能值
由 $\dim(W_1 \cap W_2) = 6 - \dim(W_1 + W_2)$，代入 $\dim(W_1 + W_2)$ 的可能值 $3,4,5$，得 $\dim(W_1 \cap W_2)$ 的可能值为 $3,2,1$。
提示：注意计算顺序，不要颠倒。
步骤 6/7
目标：验证交空间维数的合理性
交空间 $W_1 \cap W_2$ 是 $W_1$ 和 $W_2$ 的子空间，因此 $\dim(W_1 \cap W_2) \leq \min\{\dim W_1, \dim W_2\} = 3$。另外，由维数公式可得 $\dim(W_1 \cap W_2) \geq \dim W_1 + \dim W_2 - \dim V = 3+3-5=1$。所以 $\dim(W_1 \cap W_2)$ 的可能值为 $1,2,3$，与上一步一致。
提示：注意下界公式 $\dim(W_1 \cap W_2) \geq \dim W_1 + \dim W_2 - \dim V$ 仅在 $W_1+W_2 \subseteq V$ 时成立，这里 $V$ 是全集。
步骤 7/7
目标：总结答案
因此，$\dim(W_1 \cap W_2)$ 的可能值为 $1, 2, 3$。
提示：答案应写成集合形式，如 $\{1,2,3\}$。
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