华中师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1} x_{2}+x_{3}^{2}-x_{3} x_{4}-x_{4}^{2}$ 的正惯性指数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出二次型的矩阵形式
二次型 $f = x_1x_2 + x_3^2 - x_3x_4 - x_4^2$ 对应的对称矩阵 $A$ 满足 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$。对于交叉项 $x_1x_2$，系数为1，因此 $a_{12}=a_{21}=\frac{1}{2}$。对于 $x_3^2$，系数为1，故 $a_{33}=1$。对于 $-x_3x_4$，系数为-1，故 $a_{34}=a_{43}=-\frac{1}{2}$。对于 $-x_4^2$，系数为-1，故 $a_{44}=-1$。其余元素为0。因此矩阵为：
$$A = \begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & -\frac{1}{2} & -1
\end{pmatrix}.$$
公式：二次型矩阵元素：$a_{ij} = \frac{1}{2} \times$ (交叉项系数) 当 $i \neq j$，$a_{ii}$ 为平方项系数。
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵必须对称。
步骤 2/5
目标：用配方法处理 $x_1,x_2$ 部分
考虑 $x_1x_2$ 项，引入变量替换：令 $y_1 = x_1 + x_2$，$y_2 = x_1 - x_2$，则 $x_1 = \frac{y_1 + y_2}{2}$，$x_2 = \frac{y_1 - y_2}{2}$，于是 $x_1x_2 = \frac{1}{4}(y_1^2 - y_2^2)$。
公式：$x_1x_2 = \frac{1}{4}((x_1+x_2)^2 - (x_1-x_2)^2)$
提示：注意系数 $\frac{1}{4}$，不要漏掉。
步骤 3/5
目标：用配方法处理 $x_3,x_4$ 部分
考虑 $x_3^2 - x_3x_4 - x_4^2$，先对 $x_3$ 配方：$x_3^2 - x_3x_4 = (x_3 - \frac{1}{2}x_4)^2 - \frac{1}{4}x_4^2$，再减去 $x_4^2$ 得 $(x_3 - \frac{1}{2}x_4)^2 - \frac{5}{4}x_4^2$。令 $y_3 = x_3 - \frac{1}{2}x_4$，$y_4 = x_4$，则这部分化为 $y_3^2 - \frac{5}{4}y_4^2$。
公式：完全平方公式：$x_3^2 - x_3x_4 = (x_3 - \frac{1}{2}x_4)^2 - \frac{1}{4}x_4^2$
提示：配方时注意常数项的正确计算。
步骤 4/5
目标：写出标准形
综合以上两步，原二次型化为：
$$f = \frac{1}{4}y_1^2 - \frac{1}{4}y_2^2 + y_3^2 - \frac{5}{4}y_4^2.$$
其中 $y_1 = x_1 + x_2$，$y_2 = x_1 - x_2$，$y_3 = x_3 - \frac{1}{2}x_4$，$y_4 = x_4$。
提示：注意变换的可逆性，确保是满秩线性替换。
步骤 5/5
目标：确定正惯性指数
标准形中，平方项系数为正的有 $\frac{1}{4}$ 和 $1$，共2个；系数为负的有 $-\frac{1}{4}$ 和 $-\frac{5}{4}$，共2个。因此正惯性指数为2。
公式：正惯性指数 = 标准形中正平方项的个数
提示：正惯性指数只与正项个数有关，与系数大小无关。
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