华中师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
6．已知三阶正交阵 $A$ 的迹 $\operatorname{tr}(A)=-2$ ，则 $A$ 的特征值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析正交矩阵特征值的性质
由于 $A$ 是三阶正交矩阵，其特征值的模为1，且实特征值只能是 $\pm 1$，复特征值成对出现且模为1。设特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$。
公式：|\lambda_i| = 1
提示：注意正交矩阵的特征值不一定都是实数，复特征值共轭成对出现。
步骤 2/6
目标：利用迹条件列出方程
迹等于特征值之和：$\operatorname{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = -2$。
公式：\operatorname{tr}(A) = \sum \lambda_i
提示：迹是矩阵对角线元素之和，也等于特征值之和。
步骤 3/6
目标：讨论特征值全为实数的情形
若三个特征值都是实数，则只能是 $\pm 1$。三个 $\pm 1$ 的和为 $-2$ 的可能组合为 $(-1, -1, 0)$，但0不是模为1的特征值，故不可能。
提示：注意特征值模为1，0不满足条件。
步骤 4/6
目标：考虑一个实特征值和一对共轭复特征值
设实特征值为 $a = \pm 1$，复特征值为 $e^{i\theta}$ 和 $e^{-i\theta}$，则和为 $a + 2\cos\theta = -2$。
公式：a + 2\cos\theta = -2
提示：复特征值共轭成对，和是实数。
步骤 5/6
目标：分情况讨论实特征值的取值
若 $a = 1$，则 $2\cos\theta = -3$，$\cos\theta = -1.5$ 不可能。若 $a = -1$，则 $2\cos\theta = -1$，$\cos\theta = -\frac{1}{2}$，此时 $\theta = \frac{2\pi}{3}$ 或 $\frac{4\pi}{3}$。
公式：\cos\theta = -\frac{1}{2}
提示：注意余弦函数的值域为[-1,1]。
步骤 6/6
目标：写出特征值
实特征值为 $-1$，复特征值为 $e^{\pm i\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$。因此特征值为 $-1, -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$。
公式：e^{\pm i\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}
提示：复特征值要写成共轭对形式。
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