华中师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
9．设 $M_{n}(\mathbb{C})$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 阶方阵构成的复向量空间，令 $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，定义咉射
$$
\operatorname{ad}_{A}: M_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow M_{n}(\mathbb{C}), \operatorname{ad}_{A}(X)=A X-X A
$$
（1）证明： $\operatorname{ad}_{A}$ 是线性变换。
（2）若 $A$ 可相似对角化，证明：存在 $M_{n}(\mathbb{C})$ 的一组基底，使得 $\operatorname{ad}_{A}$ 在这组基下的矩阵为对角阵。
（3）若 $A$ 是幂零矩阵，证明： $\operatorname{ad}_{A}$ 是幂零的线性变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明 ad_A 是线性变换
对任意 $X, Y \in M_n(\mathbb{C})$ 和 $\lambda \in \mathbb{C}$，验证加法和数乘封闭性：
\[
\begin{aligned}
\operatorname{ad}_A(X+Y) &= A(X+Y) - (X+Y)A = AX + AY - XA - YA = (AX - XA) + (AY - YA) = \operatorname{ad}_A(X) + \operatorname{ad}_A(Y), \\
\operatorname{ad}_A(\lambda X) &= A(\lambda X) - (\lambda X)A = \lambda AX - \lambda XA = \lambda (AX - XA) = \lambda \operatorname{ad}_A(X).
\end{aligned}
\]
因此，$\operatorname{ad}_A$ 是线性变换。
公式：\operatorname{ad}_A(X)=AX-XA
提示：注意矩阵乘法不交换，展开时保持顺序。
步骤 2/5
目标：将 ad_A 转化为 ad_Λ 的相似变换
由于 $A$ 可相似对角化，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$。定义线性变换 $\varphi: M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})$，$\varphi(X)=P^{-1}XP$，则 $\varphi$ 可逆。计算：
\[
\varphi \circ \operatorname{ad}_A \circ \varphi^{-1}(X) = P^{-1} \operatorname{ad}_A(PXP^{-1}) P = P^{-1}(A P X P^{-1} - P X P^{-1} A) P = (P^{-1}AP) X - X (P^{-1}AP) = \Lambda X - X \Lambda = \operatorname{ad}_\Lambda(X).
\]
因此 $\operatorname{ad}_A$ 与 $\operatorname{ad}_\Lambda$ 相似。
公式：\varphi \circ \operatorname{ad}_A \circ \varphi^{-1} = \operatorname{ad}_\Lambda
提示：注意 $\varphi^{-1}(X)=PXP^{-1}$，计算时不要混淆。
步骤 3/5
目标：求 ad_Λ 在标准基下的矩阵
取 $M_n(\mathbb{C})$ 的标准基 $\{E_{ij}\}$（第 $i$ 行第 $j$ 列为1，其余为0）。计算 $\operatorname{ad}_\Lambda$ 作用：
\[
\operatorname{ad}_\Lambda(E_{ij}) = \Lambda E_{ij} - E_{ij} \Lambda = \lambda_i E_{ij} - \lambda_j E_{ij} = (\lambda_i - \lambda_j) E_{ij}.
\]
因此 $E_{ij}$ 是特征向量，对应特征值 $\lambda_i - \lambda_j$。由于 $\{E_{ij}\}$ 是基，$\operatorname{ad}_\Lambda$ 在该基下的矩阵是对角阵，对角元为 $\lambda_i - \lambda_j$。
公式：\operatorname{ad}_\Lambda(E_{ij}) = (\lambda_i - \lambda_j) E_{ij}
提示：注意 $\Lambda E_{ij}$ 是左乘，$E_{ij}\Lambda$ 是右乘，结果不同。
步骤 4/5
目标：得到 ad_A 的对角化基底
由相似性，$\operatorname{ad}_A$ 在基底 $\{P E_{ij} P^{-1}\}$ 下的矩阵也是对角阵（与 $\operatorname{ad}_\Lambda$ 相同）。因此存在 $M_n(\mathbb{C})$ 的一组基底使得 $\operatorname{ad}_A$ 的矩阵为对角阵。
提示：基底 $\{P E_{ij} P^{-1}\}$ 是标准基经过 $\varphi^{-1}$ 得到的。
步骤 5/5
目标：证明 ad_A 是幂零变换（若 A 幂零）
设 $A^k=0$。考虑 $\operatorname{ad}_A$ 的 $m$ 次幂：通过归纳或二项式定理可得
\[
\operatorname{ad}_A^m(X) = \sum_{i=0}^m \binom{m}{i} (-1)^i A^{m-i} X A^i.
\]
当 $m \geq 2k$ 时，对任意 $i$，$m-i \geq k$ 或 $i \geq k$，因此 $A^{m-i}=0$ 或 $A^i=0$，从而每一项为零，故 $\operatorname{ad}_A^m = 0$。因此 $\operatorname{ad}_A$ 是幂零线性变换。
公式：\operatorname{ad}_A^m(X) = \sum_{i=0}^m \binom{m}{i} (-1)^i A^{m-i} X A^i
提示：注意 $m$ 至少为 $2k$ 才能保证每一项中至少有一个因子为零。
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