华中师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
10．设 $M_{2}(\mathbb{C})$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 2 阶矩阵构成的复向量空间，$A, B, C \in M_{2}(\mathbb{C})$ 且线性无关，证明：存在复数 $a, b, c$ 使得 $a A+b B+c C$ 是可逆矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立多项式函数
定义多项式 $f(a,b,c) = \det(aA + bB + cC)$，其中 $a,b,c \in \mathbb{C}$。由于 $A,B,C$ 是 $2\times 2$ 矩阵，行列式是二次齐次多项式，因此 $f$ 是关于 $a,b,c$ 的二次齐次多项式。
公式：$f(a,b,c) = \det(aA + bB + cC)$
提示：注意行列式是二次齐次函数，即 $f(\lambda a, \lambda b, \lambda c) = \lambda^2 f(a,b,c)$。
步骤 2/4
目标：证明 $f$ 不恒为零
假设 $f$ 恒为零，则对所有 $a,b,c$ 有 $\det(aA+bB+cC)=0$。特别地，取 $a=1,b=0,c=0$ 得 $\det A=0$，同理 $\det B=0$，$\det C=0$。但 $A,B,C$ 线性无关，例如可取 $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$，它们线性无关且每个行列式为0，但 $A+B+C=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ 的行列式为 $-1\neq0$，与假设矛盾。因此 $f$ 不恒为零。
提示：反例构造是关键，注意线性无关性保证存在这样的组合。
步骤 3/4
目标：利用多项式零点集性质
由于 $f$ 是 $C^3$ 上的非零多项式，其零点集 $Z(f)=\{(a,b,c)\in\bC^3\mid f(a,b,c)=0\}$ 是 $C^3$ 中的代数簇，维数不超过2。而 $C^3$ 是3维复空间，因此存在点 $(a,b,c)\in\bC^3$ 使得 $f(a,b,c)\neq0$。
提示：复代数簇的维数严格小于全空间维数，因此非零点存在。
步骤 4/4
目标：结论
取这样的 $(a,b,c)$，则 $\det(aA+bB+cC)\neq0$，即矩阵 $aA+bB+cC$ 可逆。因此存在复数 $a,b,c$ 使得 $aA+bB+cC$ 是可逆矩阵。
提示：注意 $(a,b,c)$ 可以是非零向量，因为齐次性，非零解即可。
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