华中师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
11．设 $A$ 是三阶实对称矩阵， 1 是 $A$ 的一个特征值， $\operatorname{tr}(A)=5$ ．
（1）若存在无穷个多个三阶正交阵 $R$ 使得 $R^{-1} A R$ 为对角阵，求该对角阵并说明理由．
（2）若只有有限个三阶正交阵 $R$ 使得 $R^{-1} A R$ 为对角阵，求该类正交阵 $R$ 的个数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析已知条件并设特征值
已知 $A$ 是三阶实对称矩阵，故可正交对角化。设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，其中 $\lambda_1=1$ 是已知的一个特征值。由 $\operatorname{tr}(A)=5$ 得 $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=5$，所以 $\lambda_2+\lambda_3=4$。
公式：$\operatorname{tr}(A)=\sum \lambda_i$
提示：注意实对称矩阵的特征值均为实数，且迹等于特征值之和。
步骤 2/5
目标：讨论(1)中无穷多个正交阵的条件
若存在无穷多个正交阵 $R$ 使 $R^{-1}AR$ 为对角阵，则 $A$ 的特征值必有重根，使得正交对角化的正交阵不唯一。考虑三种情况：
- 三个特征值全相等：则 $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1$，迹为3，与条件矛盾。
- 两个特征值相等：设 $\lambda_2=\lambda_3$，则 $2\lambda_2=4$，得 $\lambda_2=2$。因此特征值为 $1,2,2$。
- 三个特征值互异：此时每个特征子空间一维，正交阵只有有限个（排列和符号变化），不满足无穷多个。
故唯一可能是特征值为 $1,2,2$。
提示：注意实对称矩阵的重特征值对应几何重数等于代数重数，从而特征子空间维数大于1，导致正交基选择不唯一。
步骤 3/5
目标：确定(1)中的对角阵
由特征值 $1,2,2$，正交对角化后的对角阵为 $\operatorname{diag}(1,2,2)$，即 $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$。注意顺序可置换，但通常按特征值大小或题目默认顺序给出。
提示：对角阵的元素是特征值，顺序不影响本质，但需明确写出。
步骤 4/5
目标：讨论(2)中有限个正交阵的条件
若只有有限个正交阵 $R$ 使 $R^{-1}AR$ 为对角阵，则特征值互异。由 $\lambda_1=1$，$\lambda_2+\lambda_3=4$，且互异，故 $\lambda_2 \neq \lambda_3$，且均不等于1。例如 $\lambda_2=0,\lambda_3=4$ 等。此时每个特征值对应一维特征子空间。
提示：互异特征值保证每个特征子空间维数为1，从而正交基的选择有限。
步骤 5/5
目标：计算(2)中正交阵的个数
正交阵 $R$ 由三个相互正交的单位特征向量组成，且顺序可任意排列，每个特征向量方向可正负。因此：
- 排列顺序：$3! = 6$ 种。
- 每个特征向量符号：$2^3 = 8$ 种。
总数为 $6 \times 8 = 48$。注意 $R$ 和 $-R$ 视为不同正交阵，但都满足条件。
提示：注意正交阵的列向量顺序和符号独立选择，但需确保正交性（自动满足）。
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