华中科技大学 2025年高等代数第2题

设 $\beta = (1, b, 2)^T$。要判断 $\beta$ 能否表示为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合，即求解线性方程组 $x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + x_3 \alpha_3 = \beta$。写出方程组： $$ \begin{cases} a x_1 - 2 x_2 - x_3 = 1 \\ 2 x_1 + x_2 + x_3 = b \\ 10 x_1 + 5 x_2 + 4 x_3 = 2 \end{cases} $$ 并写出增广矩阵。

增广矩阵为： $$ \begin{pmatrix} a & -2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & b \\ 10 & 5 & 4 & 2 \end{pmatrix} $$ 先进行 $R_3 - 5R_2$ 得： $$ \begin{pmatrix} a & -2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & b \\ 0 & 0 & -1 & 2-5b \end{pmatrix} $$ 再交换 $R_1$ 与 $R_2$ 得： $$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & b \\ a & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 2-5b \end{pmatrix} $$ 然后进行 $R_2 - \frac{a}{2}R_1$ 得： $$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & b \\ 0 & -2-\frac{a}{2} & -1-\frac{a}{2} & 1-\frac{ab}{2} \\ 0 & 0 & -1 & 2-5b \end{pmatrix} $$ 记 $c = -2-\frac{a}{2} = -\frac{a+4}{2}$，$d = -1-\frac{a}{2} = -\frac{a+2}{2}$，$e = 1-\frac{ab}{2}$。

方程组无解当且仅当增广矩阵出现矛盾行。 - 若 $2-5b \neq 0$，则第三行 $0 = 2-5b$ 矛盾，方程组无解。 - 若 $2-5b = 0$，则第三行化为 $0=0$，此时需第二行矛盾：$c=0$ 且 $e \neq 0$。 当 $b = \frac{2}{5}$ 且 $a = -4$ 时，$c=0$，$e = 1-\frac{(-4)\cdot \frac{2}{5}}{2} = 1+\frac{4}{5} = \frac{9}{5} \neq 0$，故无解。 因此，不能表示的条件为：$b \neq \frac{2}{5}$ 或 $a = -4$ 且 $b = \frac{2}{5}$。

方程组有唯一解当且仅当系数矩阵满秩，即 $c \neq 0$（因为第三行 $-1$ 非零）。$c \neq 0$ 等价于 $a \neq -4$。此时无论 $b$ 为何值，方程组都有唯一解。

方程组有无穷多解当且仅当系数矩阵的秩小于未知数个数（3），且方程组有解。这需要 $c=0$ 且 $2-5b=0$ 且 $e=0$。但 $c=0$ 时 $a=-4$，$2-5b=0$ 时 $b=\frac{2}{5}$，此时 $e = \frac{9}{5} \neq 0$，故 $e=0$ 不成立。然而，当 $a=-4$，$b=\frac{2}{5}$ 时，第二行变为 $0 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 1 \cdot x_3 = \frac{9}{5}$，第三行 $0=0$，方程组有解且秩为2，自由变量个数为1，因此有无穷多解。所以无穷多解条件为 $a=-4$ 且 $b=\frac{2}{5}$。

当 $a=-4$，$b=\frac{2}{5}$ 时，方程组化为： $$ \begin{cases} 2x_1 + x_2 + x_3 = \frac{2}{5} \\ x_2 + x_3 = \frac{9}{5} \end{cases} $$ 令 $x_3 = t$（$t \in \mathbb{R}$），则 $x_2 = \frac{9}{5} - t$，代入第一式得 $2x_1 + \frac{9}{5} - t + t = \frac{2}{5}$，即 $2x_1 = -\frac{7}{5}$，$x_1 = -\frac{7}{10}$。 因此所有表示为： $$ \beta = -\frac{7}{10} \alpha_1 + \left(\frac{9}{5} - t\right) \alpha_2 + t \alpha_3, \quad t \in \mathbb{R}. $$