华中科技大学 2025年高等代数第3题
📝 题目
3、（20分）设 $\displaystyle A, B, C, D$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle C D^{T}=D C^{T}$ ，证明：
$$
\left|\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right|=\left|A D^{T}-B C^{T}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造分块矩阵乘积
考虑矩阵乘积：
$$
\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} D^T & 0 \\ -C^T & I \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A D^T - B C^T & B \\ C D^T - D C^T & D \end{pmatrix}.
$$
提示：注意矩阵乘法的顺序，左乘和右乘不同。
步骤 2/7
目标：利用条件简化
由条件 $C D^T = D C^T$，得 $C D^T - D C^T = 0$，因此乘积矩阵变为：
$$
\begin{pmatrix} A D^T - B C^T & B \\ 0 & D \end{pmatrix}.
$$
公式：$C D^T = D C^T$
提示：条件 $C D^T = D C^T$ 是矩阵等式，不是行列式等式。
步骤 3/7
目标：取行列式
对等式两边取行列式：
$$
\left| \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \right|
\cdot \left| \begin{pmatrix} D^T & 0 \\ -C^T & I \end{pmatrix} \right|
= \left| \begin{pmatrix} A D^T - B C^T & B \\ 0 & D \end{pmatrix} \right|.
$$
公式：$|XY| = |X||Y|$
提示：行列式乘法性质要求矩阵为方阵，这里所有矩阵都是 $2n$ 阶。
步骤 4/7
目标：计算各行列式
右边是分块上三角矩阵，行列式为 $|A D^T - B C^T| \cdot |D|$。左边第二个行列式：$\begin{pmatrix} D^T & 0 \\ -C^T & I \end{pmatrix}$ 是分块下三角矩阵，行列式为 $|D^T| \cdot |I| = |D|$。因此：
$$
\left| \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \right| \cdot |D| = |A D^T - B C^T| \cdot |D|.
$$
公式：分块三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积
提示：注意 $|D^T| = |D|$。
步骤 5/7
目标：讨论 $|D| \neq 0$ 的情况
若 $|D| \neq 0$，则可约去 $|D|$，得到：
$$
\left| \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \right| = |A D^T - B C^T|.
$$
提示：约去 $|D|$ 时需确保 $|D| \neq 0$。
步骤 6/7
目标：处理 $|D| = 0$ 的情况
若 $|D| = 0$，考虑 $D_\varepsilon = D + \varepsilon I$，其中 $\varepsilon$ 为充分小的实数，使得 $|D_\varepsilon| \neq 0$。条件 $C D_\varepsilon^T = D_\varepsilon C^T$ 仍成立（因为 $C D^T = D C^T$ 且 $C I^T = I C^T$）。应用上述结论得：
$$
\left| \begin{pmatrix} A & B \\ C & D_\varepsilon \end{pmatrix} \right| = |A D_\varepsilon^T - B C^T|.
$$
两边都是 $\varepsilon$ 的多项式，令 $\varepsilon \to 0$，由连续性得等式成立。
提示：连续性要求行列式是矩阵元素的连续函数。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，对任意 $n$ 阶矩阵 $A,B,C,D$ 满足 $C D^T = D C^T$，有：
$$
\left|\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right| = \left|A D^{T} - B C^{T}\right|.
$$
提示：最终结果与 $A$ 是否可逆无关。
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