华中科技大学 2025年高等代数第5题
📝 题目
5、（20分）设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实矩阵，证明：如果存在一个复可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得
$$
P^{-1} A P=B,
$$
那么一定存在一个实可逆矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q=B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与已知条件
已知 $A, B$ 是 $n$ 阶实矩阵，且存在复可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = B$，即 $A$ 与 $B$ 在复数域上相似。要证明存在实可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ = B$。
提示：注意 $A, B$ 是实矩阵，但 $P$ 是复矩阵，不能直接取实部或虚部。
步骤 2/6
目标：利用相似性得到相同的初等因子
由于 $A$ 与 $B$ 在复数域上相似，它们有相同的初等因子（即相同的 Jordan 标准形，但 Jordan 块可能涉及复数特征值）。然而，$A$ 和 $B$ 是实矩阵，其实特征值若为复数则共轭成对出现，且对应的 Jordan 块也共轭成对。因此，$A$ 和 $B$ 有相同的实 Jordan 标准形（或实有理标准形）。
提示：实矩阵的复特征值共轭成对，对应的 Jordan 块也共轭，因此实 Jordan 标准形由这些共轭对组合而成。
步骤 3/6
目标：引入实有理标准形
考虑实矩阵的有理标准形（Frobenius 标准形）。由于 $A$ 和 $B$ 在复数域上相似，它们有相同的初等因子，从而有相同的实有理标准形。即存在实可逆矩阵 $R$ 和 $S$ 使得 $R^{-1}AR = C$ 和 $S^{-1}BS = C$，其中 $C$ 是同一个有理标准形矩阵（由实不可约多项式组成）。
公式：$R^{-1}AR = C$, $S^{-1}BS = C$
提示：有理标准形是实数域上的标准形，不依赖于复数域。
步骤 4/6
目标：推导实可逆矩阵 $Q$
由 $R^{-1}AR = C$ 得 $A = RCR^{-1}$；由 $S^{-1}BS = C$ 得 $B = SCS^{-1}$。于是 $B = S(R^{-1}AR)S^{-1} = (SR^{-1})A(RS^{-1})$。令 $Q = RS^{-1}$，则 $Q$ 是实可逆矩阵（因为 $R, S$ 实可逆），且 $Q^{-1} = SR^{-1}$。因此 $Q^{-1}AQ = B$。
公式：$Q = RS^{-1}$, $Q^{-1}AQ = B$
提示：注意 $Q$ 的构造：$Q = RS^{-1}$，而不是 $R^{-1}S$。
步骤 5/6
目标：验证 $Q$ 是实可逆矩阵
由于 $R$ 和 $S$ 都是实可逆矩阵，它们的乘积 $RS^{-1}$ 也是实可逆矩阵。因此 $Q$ 满足要求。
提示：实可逆矩阵的乘积和逆仍是实可逆矩阵。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，存在实可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ = B$，命题得证。
提示：本题的关键是利用有理标准形，避免直接处理复数。
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