华中科技大学 2026年高等代数第7题
📝 题目
7．$\displaystyle A_{n \times n}$ 为正定矩阵，$\displaystyle B_{n \times m}$ 满足 $\displaystyle r(B)=r$ ，求矩阵 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\mathrm{T}} & O\end{array}\right)$ 的正负惯性指数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用A正定进行合同变换
由于$A$正定，存在可逆矩阵$P$使得$P^{\mathrm{T}}AP=I_n$。令$\tilde{B}=P^{\mathrm{T}}B$，则$M$合同于$\begin{pmatrix} I_n & \tilde{B} \\ \tilde{B}^{\mathrm{T}} & O \end{pmatrix}$。
公式：$P^{\mathrm{T}}AP=I_n$
提示：注意合同变换不改变惯性指数，且$P$可逆。
步骤 2/5
目标：对$\tilde{B}$进行正交对角化
设$\tilde{B}$的秩为$r$，则存在正交矩阵$Q$使得$Q^{\mathrm{T}}\tilde{B}\tilde{B}^{\mathrm{T}}Q=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_r,0,\dots,0)$，其中$\lambda_i>0$。进一步，存在正交矩阵$R$使得$R^{\mathrm{T}}\tilde{B} = \begin{pmatrix} \Sigma & O \\ O & O \end{pmatrix}$，其中$\Sigma=\operatorname{diag}(\sigma_1,\dots,\sigma_r)$，$\sigma_i>0$。
公式：$R^{\mathrm{T}}\tilde{B} = \begin{pmatrix} \Sigma & O \\ O & O \end{pmatrix}$
提示：注意$\tilde{B}$的秩为$r$，因此非零奇异值个数为$r$。
步骤 3/5
目标：构造合同变换矩阵
令$S=\operatorname{diag}(R,I_m)$，则$S^{\mathrm{T}}MS$合同于$\begin{pmatrix} I_n & \begin{pmatrix} \Sigma & O \\ O & O \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} \Sigma & O \\ O & O \end{pmatrix}^{\mathrm{T}} & O \end{pmatrix}$。将矩阵分块为$(r,n-r,m)$形式：$\begin{pmatrix} I_r & 0 & \Sigma & 0 \\ 0 & I_{n-r} & 0 & 0 \\ \Sigma & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：分块时注意行列对应，确保维度匹配。
步骤 4/5
目标：消去非对角块
令$T = \begin{pmatrix} I_r & 0 & -\Sigma^{-1} & 0 \\ 0 & I_{n-r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_r & 0 \\ 0 & 0 & 0 & I_{m-r} \end{pmatrix}$，则$T^{\mathrm{T}}MT$合同于$\begin{pmatrix} I_r & 0 & 0 & 0 \\ 0 & I_{n-r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\Sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$T$的构造：将第$2r+1$列乘以$\Sigma^{-1}$加到第1列，再对行做类似操作。
提示：注意$\Sigma$可逆，因此$\Sigma^{-1}$存在。合同变换需同时左乘和右乘。
步骤 5/5
目标：读出惯性指数
最终矩阵中，$I_r$和$I_{n-r}$对应正特征值，共$n$个；$-\Sigma^2$对应负特征值，共$r$个；零块对应零特征值，共$m-r$个。因此$M$的正惯性指数为$n$，负惯性指数为$r$，零惯性指数为$m-r$。
提示：注意正惯性指数包括$I_r$和$I_{n-r}$，不要遗漏。
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