📝 华中科技大学 2026年高等代数真题

1．计算行列式

$$
\left|\begin{array}{ccccc}
1 & x_{1} & \cdots & x_{1}^{n-2} & \left(x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{n}\right)^{n-1} \\
1 & x_{2} & \cdots & x_{2}^{n-2} & \left(x_{1}+x_{3}+\cdots+x_{n}\right)^{n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
1 & x_{n} & \cdots & x_{n}^{n-2} & \left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n-1}\right)^{n-1}
\end{array}\right|
$$

2．设 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}, V_{1} \cap V_{2}$ 的基与维数（具体数据忘了）．

3．$\displaystyle C \in M_{m \times n}(\mathbb{C}), r(C)=r$ ，且 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 至少有 $r$ 个公共的特征值（计重数）．

4．有限维线性空间 $V$ 有2026个子空间 $\displaystyle W_{1}, W_{2}, \cdots, W_{2026}$ ，其中

$$
\operatorname{dim} W_{i}=2026(i=1,2, \cdots, 2026), \operatorname{dim}\left(W_{i} \cap W_{j}\right)=2025(i \neq j) .
$$

证明下列条件之一成立：
（a）存在 $W$ 为 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} W=2025, W \subset W_{i}(i=1,2, \cdots, 2026)$ ．
（b）存在 $U$ 为 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} U=2027, W_{i} \subset U(i=1,2, \cdots, 2026)$ ．

5．设 $\displaystyle A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ ．证明：
（1）存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle \lambda \in \mathbb{C} \backslash\{0\}$ 且 $\displaystyle |\lambda|<\delta$ 时，$\displaystyle \lambda E+A$ 可逆．
（2） $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow 0} A(\lambda E+A)^{-1}$ 存在的充分必要条件是 $\displaystyle r(A)=r\left(A^{2}\right)$ ．

6．（可能有误）设 $A$ 为三阶可逆实对称矩阵，证明下面两个命题等价：
（a） $\displaystyle \operatorname{tr}(A) \neq 0$ ．
（b）对任意三阶实反对称矩阵 $S$ ，存在三阶实反对称矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B+B A=S$ ．

7．$\displaystyle A_{n \times n}$ 为正定矩阵，$\displaystyle B_{n \times m}$ 满足 $\displaystyle r(B)=r$ ，求矩阵 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\mathrm{T}} & O\end{array}\right)$ 的正负惯性指数．

8．（可能有误）$\displaystyle A, B$ 为 2026 阶反对称矩阵，证明：
（1）$\displaystyle r(A)$ 为偶数．
（2）$\displaystyle A B$ 的特征多项式至少有一个二重根．