华中科技大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}, V_{1} \cap V_{2}$ 的基与维数（具体数据忘了）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题与符号
设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 和 $\beta_1,\beta_2$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量，$V_1 = L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，$V_2 = L(\beta_1,\beta_2)$。需要求 $V_1+V_2$ 和 $V_1 \cap V_2$ 的基与维数。
提示：注意向量空间是实数域上的，且向量组可能线性相关。
步骤 2/6
目标：求 $V_1+V_2$ 的基与维数
由于 $V_1+V_2 = L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2)$，将向量组按列排成矩阵 $A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2)$。对 $A$ 进行初等行变换化为行最简形矩阵，主元列对应的原向量构成 $V_1+V_2$ 的一组基，主元个数即为维数。
公式：$V_1+V_2 = \operatorname{span}\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2\}$
提示：行变换不改变列向量组的线性关系，但注意主元列对应的是原矩阵的列。
步骤 3/6
目标：建立 $V_1 \cap V_2$ 的方程组
设 $x \in V_1 \cap V_2$，则存在数 $k_1,k_2,k_3$ 和 $l_1,l_2$ 使得 $x = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = l_1\beta_1 + l_2\beta_2$。移项得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 - l_1\beta_1 - l_2\beta_2 = 0$。
公式：$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 - l_1\beta_1 - l_2\beta_2 = 0$
提示：注意系数符号，移项后是减号。
步骤 4/6
目标：解齐次线性方程组
将向量方程写成矩阵形式：$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,-\beta_1,-\beta_2) \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \\ l_1 \\ l_2 \end{pmatrix} = 0$。对系数矩阵进行初等行变换，求出基础解系。设基础解系为 $\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_r$，则 $r$ 为解空间维数。
公式：$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,-\beta_1,-\beta_2) \mathbf{y} = 0$
提示：系数矩阵的列顺序要与未知数对应，注意负号。
步骤 5/6
目标：得到 $V_1 \cap V_2$ 的基
对于每个基础解系 $\eta = (k_1,k_2,k_3,l_1,l_2)^T$，代入 $x = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$ 得到 $V_1 \cap V_2$ 中的一个向量。这些向量线性无关，构成 $V_1 \cap V_2$ 的一组基，维数等于基础解系个数 $r$。
公式：$x = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$
提示：也可用 $x = l_1\beta_1 + l_2\beta_2$ 计算，结果相同。
步骤 6/6
目标：总结维数关系
由维数公式：$\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$。可验证计算结果的一致性。
公式：$\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$
提示：注意 $\dim V_1$ 和 $\dim V_2$ 是各自向量组的秩，不一定等于向量个数。
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