华中科技大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．计算行列式
$$
\left|\begin{array}{ccccc}
1 & x_{1} & \cdots & x_{1}^{n-2} & \left(x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{n}\right)^{n-1} \\
1 & x_{2} & \cdots & x_{2}^{n-2} & \left(x_{1}+x_{3}+\cdots+x_{n}\right)^{n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
1 & x_{n} & \cdots & x_{n}^{n-2} & \left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n-1}\right)^{n-1}
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察行列式结构
行列式 $D$ 的最后一列是 $(x_2+\cdots+x_n)^{n-1}, (x_1+x_3+\cdots+x_n)^{n-1}, \ldots, (x_1+\cdots+x_{n-1})^{n-1}$，而前 $n-1$ 列是 $1, x_i, \ldots, x_i^{n-2}$ 的范德蒙形式。
提示：注意最后一列与 $x_i$ 的关系：$(x_1+\cdots+x_n - x_i)^{n-1}$。
步骤 2/6
目标：将最后一列拆分为线性组合
利用二项式定理：$(S - x_i)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} S^{n-1-k} (-x_i)^k$，其中 $S = x_1+\cdots+x_n$。因此最后一列可写为 $\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} S^{n-1-k} (-1)^k \begin{pmatrix} x_1^k \\ x_2^k \\ \vdots \\ x_n^k \end{pmatrix}$。
公式：$(S - x_i)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} S^{n-1-k} (-x_i)^k$
提示：注意 $S$ 是常数，与行指标 $i$ 无关。
步骤 3/6
目标：利用行列式的线性性质分解
行列式对每一列是线性的，因此 $D = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} S^{n-1-k} (-1)^k \begin{vmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-2} & x_1^k \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-2} & x_2^k \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-2} & x_n^k \end{vmatrix}$。记 $V_k$ 为上述行列式。
公式：$D = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} S^{n-1-k} (-1)^k V_k$
提示：注意 $S$ 是常数，可以提到求和号外，但这里保留在求和内。
步骤 4/6
目标：分析 $V_k$ 的值
$V_k$ 是 $n$ 阶行列式，前 $n-1$ 列是 $1, x_i, \ldots, x_i^{n-2}$，最后一列是 $x_i^k$。当 $k = n-1$ 时，$V_{n-1}$ 是完整的范德蒙行列式：$V_{n-1} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$。当 $0 \le k \le n-2$ 时，最后一列与第 $k+1$ 列（即 $x_i^k$ 列）相同，因此行列式为零。
公式：$V_{n-1} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$
提示：注意列索引：第1列是 $x_i^0=1$，第2列是 $x_i^1$，...，第 $n-1$ 列是 $x_i^{n-2}$，最后一列是 $x_i^k$。当 $k \le n-2$ 时，存在重复列。
步骤 5/6
目标：求和只剩一项
由于 $k=0,\ldots,n-2$ 时 $V_k=0$，只有 $k=n-1$ 项非零。此时 $\binom{n-1}{n-1}=1$，$S^{0}=1$，$(-1)^{n-1}=(-1)^{n-1}$。因此 $D = (-1)^{n-1} \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$。
提示：注意 $(-1)^{n-1}$ 的指数是 $n-1$，不要写成 $n$。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
所以行列式的值为 $(-1)^{n-1} \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$。
公式：$D = (-1)^{n-1} \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$
提示：最终结果是一个范德蒙行列式乘以符号因子。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。