华中科技大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．$\displaystyle C \in M_{m \times n}(\mathbb{C}), r(C)=r$ ，且 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 至少有 $r$ 个公共的特征值（计重数）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用秩分解将C化为标准形
由于 $C$ 的秩为 $r$，存在可逆矩阵 $P \in M_m(\mathbb{C})$ 和 $Q \in M_n(\mathbb{C})$ 使得 $C = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$，其中 $I_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵。
公式：C = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 是可逆的，且 $C$ 的秩为 $r$，因此标准形中左上角是 $r$ 阶单位阵。
步骤 2/7
目标：代入条件并化简
将 $C$ 的表达式代入 $AC = CB$ 得 $A P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q B$。左乘 $P^{-1}$，右乘 $Q^{-1}$ 得 $P^{-1} A P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q B Q^{-1}$。
公式：P^{-1} A P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q B Q^{-1}
提示：注意左乘和右乘的顺序，确保等式成立。
步骤 3/7
目标：分块表示矩阵
令 $A' = P^{-1} A P = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$，$B' = Q B Q^{-1} = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$，其中 $A_{11}, B_{11} \in M_r(\mathbb{C})$。则等式变为 $\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$。
公式：\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}
提示：分块时注意 $A_{11}$ 和 $B_{11}$ 是 $r \times r$ 矩阵。
步骤 4/7
目标：计算分块乘积并比较
计算左边得 $\begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ A_{21} & 0 \end{pmatrix}$，右边得 $\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。因此 $A_{11} = B_{11}$，$A_{21} = 0$，$B_{12} = 0$。
公式：\begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ A_{21} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
提示：注意矩阵相等要求每个对应块相等，从而得到三个等式。
步骤 5/7
目标：得到A'和B'的块三角形式
于是 $A' = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}$，$B' = \begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$。即 $A'$ 是上块三角，$B'$ 是下块三角。
公式：A' = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}, \quad B' = \begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}
提示：注意 $A_{11}$ 同时出现在 $A'$ 和 $B'$ 的左上角。
步骤 6/7
目标：计算特征多项式
由于相似矩阵有相同的特征多项式，$A$ 与 $A'$ 相似，$B$ 与 $B'$ 相似。$A'$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I - A') = \det(\lambda I_r - A_{11}) \det(\lambda I_{m-r} - A_{22})$，$B'$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I - B') = \det(\lambda I_r - A_{11}) \det(\lambda I_{n-r} - B_{22})$。
公式：\det(\lambda I - A) = \det(\lambda I_r - A_{11}) \det(\lambda I_{m-r} - A_{22}), \quad \det(\lambda I - B) = \det(\lambda I_r - A_{11}) \det(\lambda I_{n-r} - B_{22})
提示：块三角矩阵的特征多项式等于对角块特征多项式的乘积。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $A$ 和 $B$ 的特征多项式都含有因子 $\det(\lambda I_r - A_{11})$，即 $A_{11}$ 的特征值（计重数）都是 $A$ 和 $B$ 的特征值，所以 $A$ 和 $B$ 至少有 $r$ 个公共的特征值（计重数）。
提示：公共特征值是指相同的特征值且重数相同，这里 $A_{11}$ 的特征值在 $A$ 和 $B$ 中出现的重数至少为它们在 $A_{11}$ 中的重数。
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