华南师范大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．（5 分）实数域上秩为 $n$ 的 $n$ 元二次型 $\displaystyle q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 与 $\displaystyle -q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 等价，其中 $n$ 是偶数，则 $\displaystyle q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 的正惯性指数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与已知条件
已知二次型 $q(x_1,\ldots,x_n)$ 是实数域上的 $n$ 元二次型，秩为 $n$（即满秩），且 $n$ 为偶数。$q$ 与 $-q$ 等价，即存在可逆线性变换将 $q$ 变为 $-q$。需要求 $q$ 的正惯性指数。
提示：注意秩为 $n$ 意味着二次型是非退化的，即正负惯性指数之和为 $n$。
步骤 2/6
目标：设正负惯性指数
设 $q$ 的正惯性指数为 $p$，负惯性指数为 $q$（为避免符号混淆，此处用 $r$ 表示负惯性指数，但题目中 $q$ 已用作二次型，故改用 $s$）。设 $p$ 为正惯性指数，$s$ 为负惯性指数，则 $p+s=n$。
公式：p + s = n
提示：注意符号：负惯性指数常用 $q$ 表示，但这里二次型已用 $q$，所以改用 $s$。
步骤 3/6
目标：写出 $q$ 和 $-q$ 的规范型
$q$ 的规范型为 $y_1^2+\cdots+y_p^2 - y_{p+1}^2-\cdots-y_n^2$。$-q$ 的规范型为 $-y_1^2-\cdots-y_p^2 + y_{p+1}^2+\cdots+y_n^2$，即正惯性指数为 $n-p$，负惯性指数为 $p$。
公式：q: $\sum_{i=1}^p y_i^2 - \sum_{i=p+1}^n y_i^2$; -q: $-\sum_{i=1}^p y_i^2 + \sum_{i=p+1}^n y_i^2$
提示：规范型中正平方项个数为正惯性指数，负平方项个数为负惯性指数。
步骤 4/6
目标：利用等价条件建立方程
由于 $q$ 与 $-q$ 等价，它们的规范型中正惯性指数相等。$q$ 的正惯性指数为 $p$，$-q$ 的正惯性指数为 $n-p$，因此 $p = n-p$。
公式：p = n - p
提示：等价二次型有相同的正惯性指数和负惯性指数（在实数域上）。
步骤 5/6
目标：解方程求 $p$
由 $p = n-p$ 得 $2p = n$，所以 $p = n/2$。因为 $n$ 是偶数，所以 $p$ 为整数。
公式：p = n/2
提示：注意 $n$ 为偶数的条件保证了 $p$ 是整数。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，二次型 $q$ 的正惯性指数为 $\dfrac{n}{2}$。
提示：答案应写成分数形式或 $n/2$。
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