📝 华南师范大学 2026年高等代数真题
第1题
1．（5 分）设 2 是多项式 $\displaystyle x^{4}-2 x^{3}+a x^{2}+b x-8$ 的二重根，求 $\displaystyle a b=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
第2题
2．（5 分）设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$B$ 是 $m$ 阶方阵，记 $\displaystyle D_{1}=\left|\begin{array}{ll}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right|, D_{2}=\left|\begin{array}{ll}0 & A \\ B & 0\end{array}\right|$ ，则 $\displaystyle D_{1}: D_{2}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第3题
3．（5 分）实数域上秩为 $n$ 的 $n$ 元二次型 $\displaystyle q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 与 $\displaystyle -q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 等价，其中 $n$ 是偶数，则 $\displaystyle q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 的正惯性指数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
第4题
4．（5 分）设 2 阶可逆方阵 $A$ 的特征多项式是 $\displaystyle f(x)=x^{2}-10 x-24$ ，则 $\displaystyle A^{-1}$ 的特征多项式是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
第5题
5．（5 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 8 & 4\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}x \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ，若 $\displaystyle A b$ 与 $b$ 线性相关，则 $\displaystyle x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第6题
6．（5 分）已知向量组 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right\},\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right\},\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{5}\right\}$ 的秩分别为 $\displaystyle 3,3,4$ ，则向量组 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}-\right. \left.\alpha_{5}\right\}$ 的秩是 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第7题
7．（15 分）设四元齐次线性方程组（I）
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=0 \\
x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}=0
\end{array}\right.
$$
线性方程组（II）的一个基础解系为 $\displaystyle \xi_{1}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ a-2 \\ -1\end{array}\right), \xi_{2}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 4 \\ a-8\end{array}\right)$ ．
（1）求方程组（I）的基础解系（7 分）
（2）当 $a$ 为何值时，方程组（I）和方程组（II）有非零公共解，求出全部公共解．（8分）
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=0 \\
x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}=0
\end{array}\right.
$$
线性方程组（II）的一个基础解系为 $\displaystyle \xi_{1}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ a-2 \\ -1\end{array}\right), \xi_{2}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 4 \\ a-8\end{array}\right)$ ．
（1）求方程组（I）的基础解系（7 分）
（2）当 $a$ 为何值时，方程组（I）和方程组（II）有非零公共解，求出全部公共解．（8分）
第8题
8．（15分）设 3 阶方阵 $A$ 的 3 个特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3$ 对应的特征向量 $\displaystyle \xi_{1}=(1,1,1)^{T}, \xi_{2}=(1,2,4)^{T}, \xi_{3}= (1,3,9)^{T}$ ，向量 $\displaystyle \beta=(1,1,3)^{T}$ ．求 $\displaystyle A^{n} \beta$ ，其中 $n$ 是一个正整数．
第9题
9．（15 分）设 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$ 是一个 $n$ 阶方阵，称 $A$ 的对角线元素之和为 $A$ 的迹，记为 $\displaystyle \operatorname{tr} A$ ．即 $\displaystyle \operatorname{tr} A=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$ 。令 $\displaystyle W_{1}=\left\{A \in M_{n}(\mathbb{F}) \mid \operatorname{tr} A=0\right\}$ ，其中 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上全体 $n$ 阶方阵构成的向量空间．
（1）证明：$\displaystyle W_{1}$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 的子空间．
（2）求 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 的一个子空间 $\displaystyle W_{2}$ ，使得 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
（1）证明：$\displaystyle W_{1}$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 的子空间．
（2）求 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 的一个子空间 $\displaystyle W_{2}$ ，使得 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
第10题
10．（15 分）已知线性变换 $\displaystyle \sigma, M_{n}(\mathbb{F})$ 表示次数不大于 $n$ 的多项式。 $\displaystyle \forall f(x) \in M_{n}(\mathbb{F}), \sigma(f(x))=f(x+1)-f(x)$ ．
（1）已知基 $\displaystyle \alpha_{0}=1, \alpha_{i}=\frac{x(x-1) \cdots(x-i+1)}{i!}, i=1,2, \ldots, n$ ．求 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的坐标．
（2）当 $\displaystyle n=3$ 时，求 $\displaystyle \sigma\left(x^{3}+2 x^{2}+3 x-1\right)$ 在 $\displaystyle \alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标．
（1）已知基 $\displaystyle \alpha_{0}=1, \alpha_{i}=\frac{x(x-1) \cdots(x-i+1)}{i!}, i=1,2, \ldots, n$ ．求 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的坐标．
（2）当 $\displaystyle n=3$ 时，求 $\displaystyle \sigma\left(x^{3}+2 x^{2}+3 x-1\right)$ 在 $\displaystyle \alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标．
第11题
11．（15 分）$\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & a & a & \cdots & a \\ -b & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -b & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -b & 0 & 0 & \cdots & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cccc}1+a_{1} b_{1} & a_{2} b_{1} & \cdots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & 1+a_{2} b_{2} & \cdots & a_{2} b_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n} b_{1} & a_{2} b_{n} & \cdots & 1+a_{n} b_{n}\end{array}\right], \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)^{T}, \beta= \left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)^{T}$.
（1）证明 $\displaystyle |A|=1+\beta \alpha^{T}$
（2）$B$ 可逆当且仅当 $\displaystyle \beta \alpha^{T} \neq-1$
（3）$B$ 可逆，求 $B$ 的逆矩阵。
（1）证明 $\displaystyle |A|=1+\beta \alpha^{T}$
（2）$B$ 可逆当且仅当 $\displaystyle \beta \alpha^{T} \neq-1$
（3）$B$ 可逆，求 $B$ 的逆矩阵。
第12题
12．（15 分）
（1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，且 $\displaystyle (m, n)=d$ ，证明 $\displaystyle \left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ．
（2）设 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 到自身的一个映射，证明：如果 $\displaystyle \sigma$ 保持内积不变，即任意的 $\displaystyle \xi, \eta \in V$ ，有 $\displaystyle \langle\sigma(\xi), \sigma(\eta)\rangle= \langle\xi, \eta\rangle$ ，则 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的线性变换，从而也是正交变换．
（3）设 $A$ 是一个实对称矩阵，如果以 $A$ 为矩阵的实二次型是正定的，$A$ 是正定的．证明：若 $A$ 是正定的，则 $A$ 可逆且可逆矩阵也是正定的．
（1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，且 $\displaystyle (m, n)=d$ ，证明 $\displaystyle \left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ．
（2）设 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 到自身的一个映射，证明：如果 $\displaystyle \sigma$ 保持内积不变，即任意的 $\displaystyle \xi, \eta \in V$ ，有 $\displaystyle \langle\sigma(\xi), \sigma(\eta)\rangle= \langle\xi, \eta\rangle$ ，则 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的线性变换，从而也是正交变换．
（3）设 $A$ 是一个实对称矩阵，如果以 $A$ 为矩阵的实二次型是正定的，$A$ 是正定的．证明：若 $A$ 是正定的，则 $A$ 可逆且可逆矩阵也是正定的．