华南师范大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8．（15分）设 3 阶方阵 $A$ 的 3 个特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3$ 对应的特征向量 $\displaystyle \xi_{1}=(1,1,1)^{T}, \xi_{2}=(1,2,4)^{T}, \xi_{3}= (1,3,9)^{T}$ ，向量 $\displaystyle \beta=(1,1,3)^{T}$ ．求 $\displaystyle A^{n} \beta$ ，其中 $n$ 是一个正整数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将β表示为特征向量的线性组合
设 $\beta = c_1 \xi_1 + c_2 \xi_2 + c_3 \xi_3$，即
\[
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix}
\]
得到线性方程组：
\[
\begin{cases}
c_1 + c_2 + c_3 = 1 \\
c_1 + 2c_2 + 3c_3 = 1 \\
c_1 + 4c_2 + 9c_3 = 3
\end{cases}
\]
提示：注意特征向量是列向量，组合时对应分量相加。
步骤 2/5
目标：求解线性方程组得到系数
解方程组：
②-①得 $c_2 + 2c_3 = 0$，③-①得 $3c_2 + 8c_3 = 2$。
联立解得 $c_2 = -2, c_3 = 1$，代入①得 $c_1 = 2$。
所以 $\beta = 2\xi_1 - 2\xi_2 + \xi_3$。
提示：消元时注意符号，避免计算错误。
步骤 3/5
目标：利用特征值和特征向量的性质计算Aⁿβ
由于 $A\xi_i = \lambda_i \xi_i$，有 $A^n \xi_i = \lambda_i^n \xi_i$。因此
\[
A^n \beta = 2 A^n \xi_1 - 2 A^n \xi_2 + A^n \xi_3 = 2 \cdot 1^n \xi_1 - 2 \cdot 2^n \xi_2 + 3^n \xi_3
\]
公式：$A^n \xi = \lambda^n \xi$ 当 $\xi$ 是特征向量时
提示：注意 $1^n = 1$，不要写成 $1$ 的 $n$ 次方形式。
步骤 4/5
目标：代入特征向量表达式
代入 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$：
\[
A^n \beta = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - 2 \cdot 2^n \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + 3^n \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix}
\]
提示：注意系数与特征向量相乘时，每个分量都要乘。
步骤 5/5
目标：合并分量得到最终结果
分别计算每个分量：
第一分量：$2 - 2 \cdot 2^n + 3^n = 2 - 2^{n+1} + 3^n$
第二分量：$2 - 2 \cdot 2^n \cdot 2 + 3^n \cdot 3 = 2 - 4 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n = 2 - 2^{n+2} + 3^{n+1}$
第三分量：$2 - 2 \cdot 2^n \cdot 4 + 3^n \cdot 9 = 2 - 8 \cdot 2^n + 9 \cdot 3^n = 2 - 2^{n+3} + 3^{n+2}$
所以
\[
A^n \beta = \begin{pmatrix} 2 - 2^{n+1} + 3^n \\ 2 - 2^{n+2} + 3^{n+1} \\ 2 - 2^{n+3} + 3^{n+2} \end{pmatrix}
\]
提示：合并时注意指数运算：$2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$，$3 \cdot 3^n = 3^{n+1}$。
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