华南师范大学 2026年高等代数第10题
📝 题目
10．（15 分）已知线性变换 $\displaystyle \sigma, M_{n}(\mathbb{F})$ 表示次数不大于 $n$ 的多项式。 $\displaystyle \forall f(x) \in M_{n}(\mathbb{F}), \sigma(f(x))=f(x+1)-f(x)$ ．
（1）已知基 $\displaystyle \alpha_{0}=1, \alpha_{i}=\frac{x(x-1) \cdots(x-i+1)}{i!}, i=1,2, \ldots, n$ ．求 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的坐标．
（2）当 $\displaystyle n=3$ 时，求 $\displaystyle \sigma\left(x^{3}+2 x^{2}+3 x-1\right)$ 在 $\displaystyle \alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解基与线性变换
基为 $\alpha_0 = 1$，$\alpha_i = \frac{x(x-1)\cdots(x-i+1)}{i!}$，$i=1,\dots,n$。注意到 $\alpha_i = \binom{x}{i}$，即二项式系数多项式。线性变换 $\sigma(f(x)) = f(x+1)-f(x)$ 是差分算子。
公式：\alpha_i = \binom{x}{i}
提示：注意 $\alpha_i$ 的定义与组合数的关系，$\binom{x}{i}$ 在 $x$ 为整数时是通常的组合数，这里 $x$ 是变量。
步骤 2/5
目标：计算 $\sigma$ 在基上的作用
利用组合恒等式：$\sigma\left(\binom{x}{i}\right) = \binom{x+1}{i} - \binom{x}{i} = \binom{x}{i-1}$，其中 $\binom{x}{-1}=0$。因此：
- $\sigma(\alpha_0) = \sigma(1) = 1-1 = 0$。
- 对于 $i \ge 1$，$\sigma(\alpha_i) = \alpha_{i-1}$。
公式：\binom{x+1}{i} - \binom{x}{i} = \binom{x}{i-1}
提示：注意 $\binom{x}{i-1}$ 当 $i=1$ 时是 $\binom{x}{0}=1$，即 $\alpha_0$。
步骤 3/5
目标：写出 $\sigma$ 在基下的矩阵
由 $\sigma(\alpha_0)=0$，$\sigma(\alpha_1)=\alpha_0$，$\sigma(\alpha_2)=\alpha_1$，...，$\sigma(\alpha_n)=\alpha_{n-1}$，得到矩阵为 $n+1$ 阶矩阵，次对角线下方为1，其余为0：
\[
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
提示：矩阵的列对应基向量的像的坐标，注意顺序：第 $i$ 列是 $\sigma(\alpha_{i-1})$ 的坐标（从0开始）。
步骤 4/5
目标：将 $f(x)=x^3+2x^2+3x-1$ 用基表示（$n=3$）
利用组合数公式将幂函数转化为基：
- $x = \binom{x}{1} = \alpha_1$。
- $x^2 = 2\binom{x}{2} + \binom{x}{1} = 2\alpha_2 + \alpha_1$。
- $x^3 = 6\binom{x}{3} + 6\binom{x}{2} + \binom{x}{1} = 6\alpha_3 + 6\alpha_2 + \alpha_1$。
代入得：
\[
f(x) = (6\alpha_3+6\alpha_2+\alpha_1) + 2(2\alpha_2+\alpha_1) + 3\alpha_1 - \alpha_0 = 6\alpha_3 + 10\alpha_2 + 6\alpha_1 - \alpha_0.
\]
公式：x^2 = 2\binom{x}{2}+\binom{x}{1},\quad x^3 = 6\binom{x}{3}+6\binom{x}{2}+\binom{x}{1}
提示：注意系数计算：$x^3$ 的系数6来自 $6\alpha_3$，$x^2$ 贡献 $4\alpha_2$，加上 $x^3$ 的 $6\alpha_2$ 得 $10\alpha_2$；$x$ 项系数：$1+2+3=6$。
步骤 5/5
目标：应用 $\sigma$ 并得到坐标
由(1)知 $\sigma(\alpha_3)=\alpha_2$，$\sigma(\alpha_2)=\alpha_1$，$\sigma(\alpha_1)=\alpha_0$，$\sigma(\alpha_0)=0$。因此：
\[
\sigma(f) = 6\alpha_2 + 10\alpha_1 + 6\alpha_0.
\]
所以 $\sigma(f)$ 在基 $\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 下的坐标为 $(6,10,6,0)^T$。
提示：注意坐标顺序：$\alpha_0$ 对应第一个分量，$\alpha_3$ 对应最后一个分量，$\alpha_3$ 的系数为0。
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