华南师范大学 2026年高等代数第11题

11．（15 分）$\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & a & a & \cdots & a \\ -b & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -b & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -b & 0 & 0 & \cdots & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cccc}1+a_{1} b_{1} & a_{2} b_{1} & \cdots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & 1+a_{2} b_{2} & \cdots & a_{2} b_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n} b_{1} & a_{2} b_{n} & \cdots & 1+a_{n} b_{n}\end{array}\right], \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)^{T}, \beta= \left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)^{T}$. （1）证明 $\displaystyle |A|=1+\beta \alpha^{T}$ （2）$B$ 可逆当且仅当 $\displaystyle \beta \alpha^{T} \neq-1$ （3）$B$ 可逆，求 $B$ 的逆矩阵。