华南师范大学 2026年高等代数第12题
📝 题目
12．（15 分）
（1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，且 $\displaystyle (m, n)=d$ ，证明 $\displaystyle \left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ．
（2）设 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 到自身的一个映射，证明：如果 $\displaystyle \sigma$ 保持内积不变，即任意的 $\displaystyle \xi, \eta \in V$ ，有 $\displaystyle \langle\sigma(\xi), \sigma(\eta)\rangle= \langle\xi, \eta\rangle$ ，则 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的线性变换，从而也是正交变换．
（3）设 $A$ 是一个实对称矩阵，如果以 $A$ 为矩阵的实二次型是正定的，$A$ 是正定的．证明：若 $A$ 是正定的，则 $A$ 可逆且可逆矩阵也是正定的．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明最大公因式整除关系
设 $d = (m,n)$，则 $d \mid m$ 且 $d \mid n$，因此 $x^d-1 \mid x^m-1$ 和 $x^d-1 \mid x^n-1$，故 $x^d-1$ 是 $x^m-1$ 和 $x^n-1$ 的一个公因式。
公式：$a \mid b$ 时 $x^a-1 \mid x^b-1$
提示：注意整除关系成立的条件：指数整除。
步骤 2/8
目标：证明任意公因式整除 $x^d-1$
由于 $d = (m,n)$，存在整数 $u,v$ 使得 $um + vn = d$。考虑多项式环中的辗转相除法，存在多项式 $a(x), b(x)$ 使得 $a(x)(x^m-1) + b(x)(x^n-1) = x^d-1$。因此，若 $f(x)$ 是 $x^m-1$ 和 $x^n-1$ 的任一公因式，则 $f(x) \mid x^d-1$。
公式：Bezout 等式：$um + vn = d$
提示：注意多项式环是主理想整环，最大公因式存在且可表示为组合。
步骤 3/8
目标：得出最大公因式结论
由前两步，$x^d-1$ 是公因式且被所有公因式整除，故 $(x^m-1, x^n-1) = x^d-1$。
提示：最大公因式的定义：公因式且能被所有公因式整除。
步骤 4/8
目标：证明保持内积的映射是线性变换（加法性）
对任意 $\xi, \eta \in V$，计算 $\|\sigma(\xi+\eta) - \sigma(\xi) - \sigma(\eta)\|^2$ 并利用内积保持性展开，得到结果为0，从而 $\sigma(\xi+\eta) = \sigma(\xi) + \sigma(\eta)$。
公式：$\|\sigma(\xi+\eta) - \sigma(\xi) - \sigma(\eta)\|^2 = 0$
提示：展开时注意交叉项符号，利用内积的线性性和保持性。
步骤 5/8
目标：证明保持内积的映射是线性变换（齐次性）
对任意 $\xi \in V$ 和 $\alpha \in \mathbb{R}$，计算 $\|\sigma(\alpha\xi) - \alpha\sigma(\xi)\|^2$ 并利用内积保持性展开，得到结果为0，从而 $\sigma(\alpha\xi) = \alpha\sigma(\xi)$。
公式：$\|\sigma(\alpha\xi) - \alpha\sigma(\xi)\|^2 = 0$
提示：注意 $\langle \sigma(\alpha\xi), \sigma(\xi) \rangle = \langle \alpha\xi, \xi \rangle = \alpha \|\xi\|^2$。
步骤 6/8
目标：得出正交变换结论
由前两步，$\sigma$ 是线性变换，且保持内积，因此保持长度，故 $\sigma$ 是正交变换。
提示：正交变换定义为保持内积的线性变换。
步骤 7/8
目标：证明正定矩阵可逆
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵，则所有特征值 $\lambda_i > 0$，故 $\det(A) = \prod \lambda_i > 0$，所以 $A$ 可逆。
公式：$\det(A) = \prod \lambda_i$
提示：正定矩阵的特征值全为正数。
步骤 8/8
目标：证明逆矩阵正定
$A^{-1}$ 实对称。对任意非零向量 $\xi$，令 $\eta = A^{-1}\xi$，则 $\xi = A\eta$ 且 $\eta \neq 0$，于是 $\xi^T A^{-1} \xi = \eta^T A \eta > 0$，故 $A^{-1}$ 正定。
公式：$\xi^T A^{-1} \xi = \eta^T A \eta$
提示：注意 $\eta \neq 0$ 因为 $\xi \neq 0$ 且 $A$ 可逆。
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