华南师范大学 2026年高等代数第7题
📝 题目
7．（15 分）设四元齐次线性方程组（I）
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=0 \\
x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}=0
\end{array}\right.
$$
线性方程组（II）的一个基础解系为 $\displaystyle \xi_{1}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ a-2 \\ -1\end{array}\right), \xi_{2}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 4 \\ a-8\end{array}\right)$ ．
（1）求方程组（I）的基础解系（7 分）
（2）当 $a$ 为何值时，方程组（I）和方程组（II）有非零公共解，求出全部公共解．（8分）
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出方程组(I)的系数矩阵并化为行最简形
方程组(I)为：
$$
\begin{cases}
2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0 \\
x_1 + 2x_2 + x_3 - x_4 = 0
\end{cases}
$$
系数矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
2 & 3 & -1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & -1
\end{pmatrix}
$$
化为行最简形：
$$
\begin{pmatrix}
2 & 3 & -1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & -1 \\
2 & 3 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\xrightarrow{r_2 - 2r_1}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & -1 \\
0 & -1 & -3 & 2
\end{pmatrix}
\xrightarrow{-r_2}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 3 & -2
\end{pmatrix}
\xrightarrow{r_1 - 2r_2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -5 & 3 \\
0 & 1 & 3 & -2
\end{pmatrix}
$$
提示：注意行变换的顺序，避免计算错误。
步骤 2/7
目标：得到同解方程组并确定自由变量
由行最简形得到同解方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 = 5x_3 - 3x_4 \\
x_2 = -3x_3 + 2x_4
\end{cases}
$$
自由变量为 $x_3, x_4$。
提示：自由变量通常取非主元列对应的变量。
步骤 3/7
目标：写出方程组(I)的基础解系
令 $(x_3, x_4) = (1,0)$ 得 $\eta_1 = (5, -3, 1, 0)^T$；令 $(x_3, x_4) = (0,1)$ 得 $\eta_2 = (-3, 2, 0, 1)^T$。故方程组(I)的基础解系为：
$$
\eta_1 = \begin{pmatrix}5 \\ -3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\quad \eta_2 = \begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}
$$
提示：基础解系中的向量必须线性无关且每个都是解。
步骤 4/7
目标：设公共解并代入方程组(I)的第一个方程
方程组(II)的通解为 $x = k_1\xi_1 + k_2\xi_2$，其中 $k_1, k_2$ 不全为零。代入(I)的第一个方程 $2x_1+3x_2-x_3=0$：
$$
2(2k_1 - k_2) + 3(-k_1 + 2k_2) - [(a-2)k_1 + 4k_2] = 0
$$
计算得：
$$
(4-3-(a-2))k_1 + (-2+6-4)k_2 = (3-a)k_1 = 0
$$
提示：代入时注意各项系数，合并同类项要仔细。
步骤 5/7
目标：代入方程组(I)的第二个方程
代入第二个方程 $x_1+2x_2+x_3-x_4=0$：
$$
(2k_1 - k_2) + 2(-k_1 + 2k_2) + [(a-2)k_1 + 4k_2] - (-k_1 + (a-8)k_2) = 0
$$
计算得：
$$
(2-2+(a-2)+1)k_1 + (-1+4+4-(a-8))k_2 = (a+1)k_1 + (7-a)k_2 = 0
$$
提示：注意符号，特别是减去 $x_4$ 时括号的处理。
步骤 6/7
目标：讨论参数a的取值情况
得到方程组：
$$
\begin{cases}
(3-a)k_1 = 0 \\
(a+1)k_1 + (7-a)k_2 = 0
\end{cases}
$$
- 若 $a \neq 3$，则 $k_1=0$，代入第二式得 $(7-a)k_2=0$。当 $a \neq 7$ 时，$k_2=0$，无非零公共解；当 $a=7$ 时，$k_2$ 任意非零，公共解为 $k_2\xi_2$。
- 若 $a=3$，则第一式恒成立，第二式为 $4k_1+4k_2=0$，即 $k_1+k_2=0$，公共解为 $k_1(\xi_1-\xi_2)$。
提示：分类讨论要全面，注意 $k_1,k_2$ 不全为零的条件。
步骤 7/7
目标：写出具体的公共解形式
- 当 $a=3$ 时，$\xi_1-\xi_2 = (3, -3, 1, 4)^T$，公共解为 $k(3, -3, 1, 4)^T$，$k \neq 0$。
- 当 $a=7$ 时，$\xi_2 = (-1, 2, 4, -1)^T$，公共解为 $k(-1, 2, 4, -1)^T$，$k \neq 0$。
- 其他 $a$ 时，无非零公共解。
提示：注意 $a=7$ 时 $\xi_2$ 的第四个分量 $a-8=-1$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。