华南师范大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．（5 分）设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$B$ 是 $m$ 阶方阵，记 $\displaystyle D_{1}=\left|\begin{array}{ll}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right|, D_{2}=\left|\begin{array}{ll}0 & A \\ B & 0\end{array}\right|$ ，则 $\displaystyle D_{1}: D_{2}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算D1
对于分块对角矩阵 $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}$，其行列式等于对角块行列式的乘积，即 $D_1 = |A| \cdot |B|$。
公式：$\begin{vmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{vmatrix} = |A| \cdot |B|$
提示：注意分块对角矩阵的行列式性质，只有当非对角块为零时才成立。
步骤 2/6
目标：分析D2的结构
$D_2 = \begin{vmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{vmatrix}$ 是一个分块反对角矩阵，不能直接使用对角矩阵的行列式公式。需要通过行交换将其化为分块对角形式。
提示：注意矩阵的分块结构，A是n阶，B是m阶。
步骤 3/6
目标：行交换策略
将第 $n+1$ 行至第 $n+m$ 行（即B所在的行）依次与前面的行交换，使得B的行移动到前m行。具体地，将第 $n+1$ 行与第 $n$ 行交换，再与第 $n-1$ 行交换，...，直到与第1行交换，共需 $n$ 次交换；然后对第 $n+2$ 行重复此过程，直到所有B的行都移到前面。总共需要 $m \times n$ 次行交换。
提示：每次行交换改变行列式的符号，因此总符号变化为 $(-1)^{nm}$。
步骤 4/6
目标：交换后的行列式
经过 $nm$ 次行交换后，行列式变为 $\begin{vmatrix} B & 0 \\ 0 & A \end{vmatrix}$，即 $D_2 = (-1)^{nm} \begin{vmatrix} B & 0 \\ 0 & A \end{vmatrix}$。
公式：行交换一次改变符号，$k$ 次交换乘以 $(-1)^k$
提示：注意交换顺序，确保最终形式正确。
步骤 5/6
目标：计算交换后的行列式
对于分块对角矩阵 $\begin{vmatrix} B & 0 \\ 0 & A \end{vmatrix}$，其行列式为 $|B| \cdot |A|$。因此 $D_2 = (-1)^{nm} |B| \cdot |A| = (-1)^{nm} |A| \cdot |B|$。
公式：$\begin{vmatrix} B & 0 \\ 0 & A \end{vmatrix} = |B| \cdot |A|$
提示：注意行列式乘法可交换顺序，$|A| \cdot |B| = |B| \cdot |A|$。
步骤 6/6
目标：求比值
由 $D_1 = |A| \cdot |B|$ 和 $D_2 = (-1)^{nm} |A| \cdot |B|$，得 $D_1 : D_2 = |A| \cdot |B| : (-1)^{nm} |A| \cdot |B| = 1 : (-1)^{nm}$。
提示：注意比值化简时，若 $|A| \cdot |B| = 0$，则比值无意义，但题目默认非零？通常考虑一般情况。
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