华南师范大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．（5 分）设 2 是多项式 $\displaystyle x^{4}-2 x^{3}+a x^{2}+b x-8$ 的二重根，求 $\displaystyle a b=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解二重根条件
若 $2$ 是多项式 $f(x)=x^4-2x^3+ax^2+bx-8$ 的二重根，则 $f(2)=0$ 且 $f'(2)=0$。
提示：注意二重根要求导数也为零，不要遗漏导数条件。
步骤 2/6
目标：代入 $x=2$ 到 $f(x)$
计算 $f(2)=2^4-2\cdot2^3+a\cdot2^2+2b-8=16-16+4a+2b-8=4a+2b-8=0$，化简得 $2a+b-4=0$，即 $b=4-2a$。
提示：注意计算时各项系数，避免算术错误。
步骤 3/6
目标：求导并代入 $x=2$
求导得 $f'(x)=4x^3-6x^2+2ax+b$，代入 $x=2$：$f'(2)=4\cdot8-6\cdot4+2a\cdot2+b=32-24+4a+b=8+4a+b=0$。
提示：求导时注意幂函数求导法则，不要漏项。
步骤 4/6
目标：联立方程求解 $a$
将 $b=4-2a$ 代入 $8+4a+b=0$ 得 $8+4a+4-2a=12+2a=0$，解得 $a=-6$。
提示：代入时注意符号，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：求解 $b$
由 $b=4-2a$ 得 $b=4-2(-6)=4+12=16$。
提示：注意负负得正。
步骤 6/6
目标：计算 $ab$
$ab=(-6)\times16=-96$。
提示：注意乘积的符号。
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