华南师范大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
4．（5 分）设 2 阶可逆方阵 $A$ 的特征多项式是 $\displaystyle f(x)=x^{2}-10 x-24$ ，则 $\displaystyle A^{-1}$ 的特征多项式是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求解A的特征值
设$A$的特征值为$\lambda$，则特征多项式$f(\lambda)=\lambda^2-10\lambda-24=0$。解此二次方程：$\lambda=\frac{10\pm\sqrt{100+96}}{2}=\frac{10\pm14}{2}$，得到$\lambda_1=12$，$\lambda_2=-2$。
公式：$\lambda^2-10\lambda-24=0$
提示：注意特征多项式是$f(x)=x^2-10x-24$，代入特征值$\lambda$时得到零。
步骤 2/6
目标：验证A可逆
由于$A$是2阶可逆方阵，其特征值均不为零。这里$\lambda_1=12\neq0$，$\lambda_2=-2\neq0$，满足可逆条件。
提示：可逆矩阵的特征值均非零。
步骤 3/6
目标：求A^{-1}的特征值
若$\lambda$是$A$的特征值，则$\lambda^{-1}$是$A^{-1}$的特征值。因此$A^{-1}$的特征值为$\frac{1}{12}$和$-\frac{1}{2}$。
公式：$A^{-1}$的特征值为$\lambda^{-1}$
提示：注意$A$可逆时，$A^{-1}$的特征值是$A$特征值的倒数。
步骤 4/6
目标：构造A^{-1}的特征多项式
对于2阶矩阵，特征多项式为$(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)$。代入$\lambda_1=\frac{1}{12}$，$\lambda_2=-\frac{1}{2}$，得$(x-\frac{1}{12})(x+\frac{1}{2})$。
公式：$(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)$
提示：注意特征多项式首项系数为1。
步骤 5/6
目标：展开多项式
展开$(x-\frac{1}{12})(x+\frac{1}{2})=x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{12}x-\frac{1}{24}=x^2+\frac{5}{12}x-\frac{1}{24}$。
提示：计算时注意分数通分：$\frac{1}{2}-\frac{1}{12}=\frac{6}{12}-\frac{1}{12}=\frac{5}{12}$。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
因此$A^{-1}$的特征多项式为$x^2+\frac{5}{12}x-\frac{1}{24}$。
提示：答案需写成标准形式，系数为分数。
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