华南师范大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．（5 分）已知向量组 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right\},\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right\},\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{5}\right\}$ 的秩分别为 $\displaystyle 3,3,4$ ，则向量组 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}-\right. \left.\alpha_{5}\right\}$ 的秩是 $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析已知条件
已知向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$ 的秩为 3，说明 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\}$ 的秩为 3，说明 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，即存在唯一的一组数 $k_1, k_2, k_3$ 使得 $\alpha_4 = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$。向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5\}$ 的秩为 4，说明 $\alpha_5$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，即 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5$ 线性无关。
提示：注意秩的含义：秩为3意味着向量组中任意3个线性无关的向量构成极大无关组，但这里直接给出前3个线性无关。
步骤 2/7
目标：表示 $\alpha_4 - \alpha_5$
由 $\alpha_4 = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$，得 $\alpha_4 - \alpha_5 = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 - \alpha_5$。
公式：$\alpha_4 - \alpha_5 = \sum_{i=1}^3 k_i\alpha_i - \alpha_5$
提示：注意 $\alpha_4$ 的表示系数是唯一的，但这里不需要具体求出。
步骤 3/7
目标：设线性组合为零
设存在一组数 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 使得 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4(\alpha_4 - \alpha_5) = 0$。
公式：$x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4(\alpha_4 - \alpha_5) = 0$
提示：这是判断线性相关性的标准方法。
步骤 4/7
目标：代入 $\alpha_4$ 表达式
代入 $\alpha_4 = \sum_{i=1}^3 k_i\alpha_i$，得 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4\left(\sum_{i=1}^3 k_i\alpha_i - \alpha_5\right) = 0$。整理得 $(x_1 + x_4 k_1)\alpha_1 + (x_2 + x_4 k_2)\alpha_2 + (x_3 + x_4 k_3)\alpha_3 - x_4\alpha_5 = 0$。
公式：$(x_1 + x_4 k_1)\alpha_1 + (x_2 + x_4 k_2)\alpha_2 + (x_3 + x_4 k_3)\alpha_3 - x_4\alpha_5 = 0$
提示：合并同类项时注意系数。
步骤 5/7
目标：利用线性无关性得方程组
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5$ 线性无关，所以系数全为零：
\begin{cases}
x_1 + x_4 k_1 = 0 \\
x_2 + x_4 k_2 = 0 \\
x_3 + x_4 k_3 = 0 \\
-x_4 = 0
\end{cases}
公式：线性无关向量组线性组合为零则系数全为零
提示：注意 $\alpha_5$ 的系数是 $-x_4$，不要漏掉负号。
步骤 6/7
目标：解方程组
由第四式得 $x_4 = 0$，代入前三式得 $x_1 = x_2 = x_3 = 0$。因此方程组只有零解。
提示：注意 $k_1, k_2, k_3$ 是已知常数，但这里不需要具体值。
步骤 7/7
目标：得出结论
因为只有零解，所以向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 - \alpha_5\}$ 线性无关，其秩为 4。
提示：线性无关的向量组中向量个数即为秩。
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