华南师范大学 2026年高等代数第9题
📝 题目
9．（15 分）设 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$ 是一个 $n$ 阶方阵，称 $A$ 的对角线元素之和为 $A$ 的迹，记为 $\displaystyle \operatorname{tr} A$ ．即 $\displaystyle \operatorname{tr} A=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$ 。令 $\displaystyle W_{1}=\left\{A \in M_{n}(\mathbb{F}) \mid \operatorname{tr} A=0\right\}$ ，其中 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上全体 $n$ 阶方阵构成的向量空间．
（1）证明：$\displaystyle W_{1}$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 的子空间．
（2）求 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 的一个子空间 $\displaystyle W_{2}$ ，使得 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：验证子空间非空
零矩阵 $O$ 的所有元素均为 $0$，其迹 $\operatorname{tr}O = 0$，因此 $O \in W_1$，故 $W_1$ 非空。
公式：\operatorname{tr}O = 0
提示：注意零矩阵的迹为0，这是子空间非空的常用验证方法。
步骤 2/7
目标：验证加法封闭性
任取 $A, B \in W_1$，则 $\operatorname{tr}A = 0$，$\operatorname{tr}B = 0$。由于迹的线性性质，$\operatorname{tr}(A+B) = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B = 0+0 = 0$，所以 $A+B \in W_1$。
公式：\operatorname{tr}(A+B) = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B
提示：迹的线性性质是证明的关键，注意加法封闭性要求对任意两个元素成立。
步骤 3/7
目标：验证数乘封闭性
任取 $A \in W_1$ 和 $k \in \mathbb{F}$，则 $\operatorname{tr}A = 0$。由迹的线性性质，$\operatorname{tr}(kA) = k \operatorname{tr}A = k \cdot 0 = 0$，所以 $kA \in W_1$。
公式：\operatorname{tr}(kA) = k \operatorname{tr}A
提示：数乘封闭性中，数乘运算要保证结果仍在 $W_1$ 中。
步骤 4/7
目标：构造子空间 $W_2$
取 $W_2 = \{ \lambda I_n \mid \lambda \in \mathbb{F} \}$，即所有标量矩阵构成的集合，其中 $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。显然 $W_2$ 是 $M_n(\mathbb{F})$ 的子空间。
提示：标量矩阵是形如 $\lambda I_n$ 的矩阵，其迹为 $n\lambda$。
步骤 5/7
目标：证明 $M_n(\mathbb{F}) = W_1 + W_2$
任取 $A \in M_n(\mathbb{F})$，设 $\operatorname{tr}A = t$。令 $B = A - \frac{t}{n} I_n$，则 $\operatorname{tr}B = \operatorname{tr}A - \frac{t}{n} \operatorname{tr}I_n = t - \frac{t}{n} \cdot n = 0$，故 $B \in W_1$。而 $\frac{t}{n} I_n \in W_2$，且 $A = B + \frac{t}{n} I_n$，所以 $A \in W_1 + W_2$。因此 $M_n(\mathbb{F}) \subseteq W_1 + W_2$，反之显然，故 $M_n(\mathbb{F}) = W_1 + W_2$。
公式：\operatorname{tr}I_n = n
提示：注意 $\frac{t}{n}$ 在数域 $\mathbb{F}$ 中，因为 $\mathbb{F}$ 是数域，包含有理数运算。
步骤 6/7
目标：证明 $W_1 \cap W_2 = \{O\}$
若 $A \in W_1 \cap W_2$，则 $A = \lambda I_n$ 且 $\operatorname{tr}A = 0$。由 $\operatorname{tr}(\lambda I_n) = n\lambda = 0$ 得 $\lambda = 0$，故 $A = O$。因此 $W_1 \cap W_2 = \{O\}$。
公式：\operatorname{tr}(\lambda I_n) = n\lambda
提示：直和的条件是交集只有零矩阵，注意 $n \neq 0$ 在数域中可逆。
步骤 7/7
目标：总结直和分解
由 $M_n(\mathbb{F}) = W_1 + W_2$ 和 $W_1 \cap W_2 = \{O\}$ 知 $M_n(\mathbb{F}) = W_1 \oplus W_2$。
提示：直和分解是向量空间的一种重要结构。
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