华南理工大学 2025年高等代数第1题
📝 题目
1、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是非零整系数多项式，证明：
（1）对任意整数 $a$ ，存在整系数多项式 $\displaystyle q(x)$ 和整数 $r$ ，使得
$$
f(x)=(x-a) q(x)+r
$$
（2）如果有两两不同的整数 $\displaystyle a, b, c$ ，使得 $\displaystyle |f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 没有整数根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：应用多项式除法
由于 $f(x)$ 是整系数多项式，$x-a$ 是首一多项式，根据多项式除法，存在唯一的多项式 $q(x)$ 和常数 $r$，使得 $f(x) = (x-a)q(x) + r$，其中 $q(x)$ 和 $r$ 是整系数多项式（因为除式首项系数为1）。
公式：f(x) = (x-a)q(x) + r
提示：注意：多项式除法中，若除式首项系数为1，则商和余式均为整系数多项式。
步骤 2/8
目标：确定余数r的值
将 $x=a$ 代入 $f(x) = (x-a)q(x) + r$，得 $f(a) = (a-a)q(a) + r = r$。由于 $f(a)$ 是整数（整系数多项式在整数点取值整数），所以 $r$ 是整数。
公式：r = f(a)
提示：代入时注意 $(x-a)$ 项为零。
步骤 3/8
目标：总结第一部分结论
因此，存在整系数多项式 $q(x)$ 和整数 $r$，使得 $f(x) = (x-a)q(x) + r$。
步骤 4/8
目标：假设存在整数根
假设 $f(x)$ 有整数根 $d$，即 $f(d)=0$。由(1)知，存在整系数多项式 $g(x)$ 使得 $f(x) = (x-d)g(x)$。
公式：f(x) = (x-d)g(x)
提示：注意：这里 $g(x)$ 是整系数多项式。
步骤 5/8
目标：利用已知条件得到等式
由 $|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=1$，代入 $f(x) = (x-d)g(x)$ 得：$|a-d|\cdot|g(a)| = 1$，$|b-d|\cdot|g(b)| = 1$，$|c-d|\cdot|g(c)| = 1$。
公式：|t-d|\cdot|g(t)| = 1, t = a,b,c
提示：注意绝对值乘积为1，每个因子都是非负整数。
步骤 6/8
目标：推导出差的绝对值必须为1
由于 $|a-d|, |b-d|, |c-d|$ 和 $|g(a)|, |g(b)|, |g(c)|$ 都是非负整数，且乘积为1，所以每个因子必须等于1。因此 $|a-d| = |b-d| = |c-d| = 1$。
公式：|a-d| = |b-d| = |c-d| = 1
提示：注意：非负整数乘积为1，只能是1×1。
步骤 7/8
目标：导出矛盾
由 $|a-d| = 1$ 知 $a-d = \pm 1$，同理 $b-d = \pm 1$，$c-d = \pm 1$。但 $a,b,c$ 两两不同，而 $\pm 1$ 只有两个可能值，因此三个不同的数 $a-d, b-d, c-d$ 不可能同时为 $\pm 1$，矛盾。
提示：注意：三个不同整数减去同一个整数后，结果仍互不相同，但这里只有两个可能值，矛盾。
步骤 8/8
目标：得出结论
因此假设不成立，$f(x)$ 没有整数根。
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