📝 华南理工大学 2025年高等代数真题
第1题
1、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是非零整系数多项式，证明：
（1）对任意整数 $a$ ，存在整系数多项式 $\displaystyle q(x)$ 和整数 $r$ ，使得
$$
f(x)=(x-a) q(x)+r
$$
（2）如果有两两不同的整数 $\displaystyle a, b, c$ ，使得 $\displaystyle |f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 没有整数根．
（1）对任意整数 $a$ ，存在整系数多项式 $\displaystyle q(x)$ 和整数 $r$ ，使得
$$
f(x)=(x-a) q(x)+r
$$
（2）如果有两两不同的整数 $\displaystyle a, b, c$ ，使得 $\displaystyle |f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 没有整数根．
第2题
2、（20 分）设有 $n$ 阶实方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)$ ，且
$$
\begin{aligned}
& a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0,(i=1,2, \cdots, n), \\
& a_{1 j}+a_{2 j}+\cdots+a_{n j}=0,(j=1,2, \cdots, n),
\end{aligned}
$$
证明： $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实方阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的所有元素的代数余子式都相等
$$
\begin{aligned}
& a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0,(i=1,2, \cdots, n), \\
& a_{1 j}+a_{2 j}+\cdots+a_{n j}=0,(j=1,2, \cdots, n),
\end{aligned}
$$
证明： $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实方阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的所有元素的代数余子式都相等
第3题
3．（20 分）已知线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-\lambda x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=1 \\ 2 x_{1}+(3-\lambda) x_{2}-4 x_{3}=2 \\ -2 x_{1}-4 x_{2}+(3-\lambda) x_{3}=-\lambda-3\end{array}\right.$ ，当 $\displaystyle \lambda$ 取何值时？
（1）上述线性方程组有唯一解？
（2）上述线性方程组无解？
（3）上述线性方程组有无穷多个解？并求其通解（用基础解系表示）。
（1）上述线性方程组有唯一解？
（2）上述线性方程组无解？
（3）上述线性方程组有无穷多个解？并求其通解（用基础解系表示）。
第4题
4、（20分）设 $N$ 是 $n$ 阶幂零矩阵，即存在自然数 $k$ ，使得 $\displaystyle N^{k}=O$ 。
（1）证明：$\displaystyle N+E$ 可逆，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
（2）若 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，且 $\displaystyle A N=N A$ ，证明：$\displaystyle A+N$ 可逆．
（1）证明：$\displaystyle N+E$ 可逆，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
（2）若 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，且 $\displaystyle A N=N A$ ，证明：$\displaystyle A+N$ 可逆．
第5题
5、（20 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶方阵， $\displaystyle \mathbf{\alpha} \in \mathbb{R}^{n}$ 是 $n$ 维列向量．若 $\displaystyle \mathbf{A}$ 正定，证明：$\displaystyle A-\alpha \alpha^{T}$ 正定时当且仅当 $\displaystyle \alpha^{T} A^{-1} \alpha<1$ 。
第6题
6．（15 分）设 4 阶方阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & a & b & 1\end{array}\right)$ ．若 4 阶方阵 $A$ 在复数域上可对角化。
（1）求 4 阶方阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征多项式。
（2）确定 $a$ 和 $b$ 的值．
（3）求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角方阵．
（1）求 4 阶方阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征多项式。
（2）确定 $a$ 和 $b$ 的值．
（3）求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角方阵．
第7题
7、 $\displaystyle \left(20\right.$ 分）设 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & 1 & & & \\ & \lambda & 1 & & \\ & & \lambda & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & \lambda\end{array}\right)$ ，若 $J$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶若尔当矩阵，
且 $\displaystyle V=\left\{A \in P^{n \times n} \mid A J=J A\right\}$ ，证明：
（1）$V$ 是线性空间．
（2） $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ．
且 $\displaystyle V=\left\{A \in P^{n \times n} \mid A J=J A\right\}$ ，证明：
（1）$V$ 是线性空间．
（2） $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ．
第8题
8、（20分）设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的两个子空间，且
$$
\operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=n .
$$
证明：存在 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \because$ ，使得 $\displaystyle \because V=V_{1}, r^{-1}(0)=V_{2}$ 。
$$
\operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=n .
$$
证明：存在 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \because$ ，使得 $\displaystyle \because V=V_{1}, r^{-1}(0)=V_{2}$ 。