华南理工大学 2025年高等代数第7题

设 $A, B \in V$，即 $AJ = JA$，$BJ = JB$。对任意 $k \in P$，有 \[ (A + B)J = AJ + BJ = JA + JB = J(A + B), \] \[ (kA)J = k(AJ) = k(JA) = J(kA), \] 所以 $A + B \in V$，$kA \in V$。且 $V$ 非空（零矩阵满足条件）。因此 $V$ 是 $P^{n \times n}$ 的子空间，从而是线性空间。

设 $J = \lambda I + N$，其中 $N$ 为幂零矩阵，$N_{i,i+1}=1$（$i=1,\dots,n-1$），其余元素为0。则 $AJ = JA$ 等价于 $A(\lambda I + N) = (\lambda I + N)A$，即 $\lambda A + AN = \lambda A + NA$，故 $AN = NA$。因此 $V = \{ A \in P^{n \times n} \mid AN = NA \}$。

设 $A = (a_{ij})$，则 \[ (AN)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} N_{kj} = a_{i,j-1} \quad (\text{当 } j \geq 2, \text{且 } N_{j-1,j}=1), \text{其余为0}, \] \[ (NA)_{ij} = \sum_{k=1}^n N_{ik} a_{kj} = a_{i+1,j} \quad (\text{当 } i \leq n-1, \text{且 } N_{i,i+1}=1), \text{其余为0}. \] 比较得：对于 $i=1,\dots,n-1$，$j=2,\dots,n$，有 $a_{i,j-1} = a_{i+1,j}$，且当 $i=n$ 或 $j=1$ 时，左边或右边为0，故 $a_{n,j-1}=0$（$j\geq2$），$a_{i,1}=0$（$i\leq n-1$）。

由条件 $a_{i,j-1} = a_{i+1,j}$ 可知，矩阵 $A$ 的每条对角线上的元素相等。结合边界条件 $a_{i,1}=0$（$i\leq n-1$）和 $a_{n,j-1}=0$（$j\geq2$），可得 $A$ 是上三角Toeplitz矩阵，即 \[ A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ 0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ 0 & 0 & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_1 \end{pmatrix}, \] 其中 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 为自由参数。

由上述结构，$A$ 由第一行的 $n$ 个元素 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 唯一确定，且这些元素可以任意取数域 $P$ 中的值。因此 $V$ 的维数等于自由参数的个数，即 $n$。所以 $\dim V = n$。