华南理工大学 2025年高等代数第4题
📝 题目
4、（20分）设 $N$ 是 $n$ 阶幂零矩阵，即存在自然数 $k$ ，使得 $\displaystyle N^{k}=O$ 。
（1）证明：$\displaystyle N+E$ 可逆，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
（2）若 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，且 $\displaystyle A N=N A$ ，证明：$\displaystyle A+N$ 可逆．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造逆矩阵的猜想形式
由于 $N$ 是幂零矩阵，存在正整数 $k$ 使得 $N^k = O$。类比几何级数 $(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - \cdots$，猜想 $N+E$ 的逆矩阵为 $E - N + N^2 - \cdots + (-1)^{k-1} N^{k-1}$。
公式：$(1+x)^{-1} = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i x^i$
提示：注意幂零矩阵的指数 $k$ 是使得 $N^k=O$ 的最小正整数，但这里任意满足条件的 $k$ 均可。
步骤 2/6
目标：验证乘积等于单位矩阵
计算 $(N+E)\sum_{i=0}^{k-1} (-1)^i N^i$：
\[
(N+E)\sum_{i=0}^{k-1} (-1)^i N^i = N\sum_{i=0}^{k-1} (-1)^i N^i + E\sum_{i=0}^{k-1} (-1)^i N^i = \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^i N^{i+1} + \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^i N^i.
\]
令 $j=i+1$，则第一项变为 $\sum_{j=1}^{k} (-1)^{j-1} N^j$。合并两式：
\[
= \sum_{j=1}^{k} (-1)^{j-1} N^j + \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^i N^i = E + \sum_{j=1}^{k-1} [(-1)^{j-1}+(-1)^j] N^j + (-1)^{k-1} N^k.
\]
由于 $N^k=O$ 且 $(-1)^{j-1}+(-1)^j=0$，故结果为 $E$。
公式：$(N+E)\sum_{i=0}^{k-1} (-1)^i N^i = E$
提示：注意求和指标变换时不要遗漏项，特别是 $j=k$ 时 $N^k=O$ 直接消去。
步骤 3/6
目标：验证另一侧乘积
类似地，计算 $\left(\sum_{i=0}^{k-1} (-1)^i N^i\right)(N+E) = \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^i N^i N + \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^i N^i E = \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^i N^{i+1} + \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^i N^i$，结果同样为 $E$。因此 $N+E$ 可逆，逆矩阵为 $\sum_{i=0}^{k-1} (-1)^i N^i$。
提示：由于矩阵乘法不交换，需验证左右两侧乘积均等于单位矩阵。
步骤 4/6
目标：利用可逆矩阵分解 $A+N$
已知 $A$ 可逆且 $AN=NA$。将 $A+N$ 写成 $A(E + A^{-1}N)$。由于 $A$ 可逆，只需证明 $E + A^{-1}N$ 可逆。
公式：$A+N = A(E + A^{-1}N)$
提示：注意 $A^{-1}N$ 的乘法顺序：因为 $AN=NA$，所以 $A^{-1}N = N A^{-1}$，但此处直接写 $A^{-1}N$ 即可。
步骤 5/6
目标：证明 $A^{-1}N$ 是幂零矩阵
由于 $N$ 幂零，存在 $k$ 使得 $N^k=O$。计算 $(A^{-1}N)^k = A^{-1}N A^{-1}N \cdots A^{-1}N$。利用 $AN=NA$ 可得 $A^{-1}N = N A^{-1}$，因此 $(A^{-1}N)^k = A^{-k} N^k = A^{-k} O = O$。故 $A^{-1}N$ 也是幂零矩阵。
公式：$(A^{-1}N)^k = A^{-k} N^k = O$
提示：需要利用交换性 $AN=NA$ 推出 $A^{-1}N = N A^{-1}$，否则不能直接合并幂次。
步骤 6/6
目标：应用(1)的结论
由(1)知，对于幂零矩阵 $A^{-1}N$，$E + A^{-1}N$ 可逆。因此 $A+N = A(E + A^{-1}N)$ 作为两个可逆矩阵的乘积也可逆。
提示：注意(1)中结论对任意幂零矩阵成立，这里 $A^{-1}N$ 满足条件。
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