华南理工大学 2025年高等代数第5题
📝 题目
5、（20 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶方阵， $\displaystyle \mathbf{\alpha} \in \mathbb{R}^{n}$ 是 $n$ 维列向量．若 $\displaystyle \mathbf{A}$ 正定，证明：$\displaystyle A-\alpha \alpha^{T}$ 正定时当且仅当 $\displaystyle \alpha^{T} A^{-1} \alpha<1$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：问题重述与基本设定
设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶正定矩阵，则 $\mathbf{A}$ 可逆且 $\mathbf{A}^{-1}$ 也正定。考虑矩阵 $\mathbf{B} = \mathbf{A} - \alpha \alpha^T$。我们需要证明 $\mathbf{B}$ 正定当且仅当 $\alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha < 1$。
提示：注意正定矩阵的定义：所有特征值大于0，或对任意非零向量 $x$ 有 $x^T \mathbf{A} x > 0$。
步骤 2/8
目标：必要性：假设 $\mathbf{B}$ 正定，推导条件
若 $\mathbf{B}$ 正定，则 $\mathbf{B}$ 可逆。由 Sherman-Morrison 公式，$\mathbf{B}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} + \frac{\mathbf{A}^{-1} \alpha \alpha^T \mathbf{A}^{-1}}{1 - \alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha}$，分母 $1 - \alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha \neq 0$。因为 $\mathbf{B}$ 正定，$\mathbf{B}^{-1}$ 也正定，所以对任意非零向量 $x$，有 $x^T \mathbf{B}^{-1} x > 0$。
公式：Sherman-Morrison 公式：$(\mathbf{A} - uv^T)^{-1} = \mathbf{A}^{-1} + \frac{\mathbf{A}^{-1} u v^T \mathbf{A}^{-1}}{1 - v^T \mathbf{A}^{-1} u}$
提示：Sherman-Morrison 公式要求分母不为零，这里 $1 - \alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha \neq 0$ 是必要的。
步骤 3/8
目标：必要性：构造特殊向量 $x = \mathbf{A} \alpha$
取 $x = \mathbf{A} \alpha$，则 $x^T \mathbf{B}^{-1} x = \alpha^T \mathbf{A} \mathbf{B}^{-1} \mathbf{A} \alpha$。计算 $\mathbf{A} \mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}$：
$$\mathbf{A} \mathbf{B}^{-1} \mathbf{A} = \mathbf{A} \left( \mathbf{A}^{-1} + \frac{\mathbf{A}^{-1} \alpha \alpha^T \mathbf{A}^{-1}}{1 - \alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha} \right) \mathbf{A} = \mathbf{A} + \frac{\alpha \alpha^T}{1 - \alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha}.$$
于是
$$x^T \mathbf{B}^{-1} x = \alpha^T \left( \mathbf{A} + \frac{\alpha \alpha^T}{1 - \alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha} \right) \alpha = \alpha^T \mathbf{A} \alpha + \frac{(\alpha^T \alpha)^2}{1 - \alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha} > 0.$$
提示：注意 $\alpha^T \alpha$ 是标量，$\alpha^T \mathbf{A} \alpha > 0$ 因为 $\mathbf{A}$ 正定。
步骤 4/8
目标：必要性：得出 $\alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha < 1$
由于 $\alpha^T \mathbf{A} \alpha > 0$ 且 $(\alpha^T \alpha)^2 \geq 0$，要使 $x^T \mathbf{B}^{-1} x > 0$，分母 $1 - \alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha$ 必须为正，即 $\alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha < 1$。必要性得证。
提示：注意分母不能为负，否则 $x^T \mathbf{B}^{-1} x$ 可能为负或零，与正定性矛盾。
步骤 5/8
目标：充分性：假设 $\alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha < 1$，考虑二次型
若 $\alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha < 1$，则 $1 - \alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha > 0$。对任意非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，考虑二次型 $x^T \mathbf{B} x = x^T \mathbf{A} x - (x^T \alpha)^2$。
提示：二次型 $x^T \mathbf{B} x$ 是标量，注意 $x^T \alpha$ 是内积。
步骤 6/8
目标：充分性：利用 $\mathbf{A}$ 正定进行变量替换
由于 $\mathbf{A}$ 正定，存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 使得 $\mathbf{A} = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$。令 $y = \mathbf{P} x$，$\beta = \mathbf{P}^{-T} \alpha$，则 $x^T \mathbf{A} x = y^T y = \|y\|^2$，$x^T \alpha = y^T \beta$。于是
$$x^T \mathbf{B} x = \|y\|^2 - (y^T \beta)^2.$$
公式：Cholesky 分解：正定矩阵可分解为 $\mathbf{A} = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$
提示：注意 $\mathbf{P}^{-T}$ 表示 $\mathbf{P}^{-1}$ 的转置。
步骤 7/8
目标：充分性：应用 Cauchy-Schwarz 不等式
由 Cauchy-Schwarz 不等式，$(y^T \beta)^2 \leq \|y\|^2 \|\beta\|^2$，等号成立当且仅当 $y$ 与 $\beta$ 共线。因此
$$x^T \mathbf{B} x \geq \|y\|^2 (1 - \|\beta\|^2).$$
计算 $\|\beta\|^2 = \beta^T \beta = \alpha^T \mathbf{P}^{-1} \mathbf{P}^{-T} \alpha = \alpha^T (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^{-1} \alpha = \alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha < 1$，故 $1 - \|\beta\|^2 > 0$。
公式：Cauchy-Schwarz 不等式：$(u^T v)^2 \leq \|u\|^2 \|v\|^2$
提示：注意 $\|\beta\|^2 = \alpha^T \mathbf{A}^{-1} \alpha$ 的推导，这是关键。
步骤 8/8
目标：充分性：结论
因此 $x^T \mathbf{B} x \geq \|y\|^2 (1 - \|\beta\|^2) > 0$ 对任意非零 $x$ 成立，即 $\mathbf{B}$ 正定。充分性得证。
提示：注意 $\|y\|^2 > 0$ 因为 $x \neq 0$ 且 $\mathbf{P}$ 可逆。
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