华南理工大学 2025年高等代数第8题

设 $\dim V_1 = r$，则 $\dim V_2 = n - r$。取 $V_1$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$，将其扩充为 $V$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_r, \beta_{r+1}, \dots, \beta_n$。再取 $V_2$ 的一组基 $\gamma_1, \dots, \gamma_{n-r}$，将其扩充为 $V$ 的另一组基 $\gamma_1, \dots, \gamma_{n-r}, \delta_{n-r+1}, \dots, \delta_n$。

定义线性变换 $\sigma: V \to V$ 如下：对 $i=1,\dots,r$，令 $\sigma(\alpha_i) = \alpha_i$；对 $j=r+1,\dots,n$，令 $\sigma(\beta_j) = 0$。然后线性扩张到整个 $V$。

首先，由定义，$\sigma(\alpha_i) = \alpha_i \in V_1$，$\sigma(\beta_j)=0$，故 $\sigma(V) \subseteq V_1$。反之，对任意 $v \in V_1$，可表示为 $v = \sum_{i=1}^r a_i \alpha_i$，则 $\sigma(v) = \sum_{i=1}^r a_i \sigma(\alpha_i) = \sum_{i=1}^r a_i \alpha_i = v$，所以 $v \in \sigma(V)$，即 $V_1 \subseteq \sigma(V)$。因此 $\sigma(V) = V_1$。

先证 $V_2 \subseteq \sigma^{-1}(0)$。对任意 $w \in V_2$，可表示为 $w = \sum_{k=1}^{n-r} b_k \gamma_k$。由于 $\gamma_k$ 可由基 $\alpha_1,\dots,\alpha_r,\beta_{r+1},\dots,\beta_n$ 线性表示，且 $\dim V_2 = n-r$，而 $\beta_{r+1},\dots,\beta_n$ 张成的子空间维数为 $n-r$，且 $V_2 \cap \langle \alpha_1,\dots,\alpha_r \rangle = \{0\}$（否则 $\dim(V_1+V_2) < n$，矛盾），故 $\gamma_k$ 可表示为 $\beta_{r+1},\dots,\beta_n$ 的线性组合。因此 $\sigma(\gamma_k)=0$，从而 $\sigma(w)=0$，即 $w \in \sigma^{-1}(0)$。

再证 $\sigma^{-1}(0) \subseteq V_2$。设 $x \in \sigma^{-1}(0)$，即 $\sigma(x)=0$。将 $x$ 按基 $\alpha_1,\dots,\alpha_r,\beta_{r+1},\dots,\beta_n$ 展开：$x = \sum_{i=1}^r c_i \alpha_i + \sum_{j=r+1}^n d_j \beta_j$。则 $\sigma(x) = \sum_{i=1}^r c_i \alpha_i = 0$，故 $c_i=0$，所以 $x = \sum_{j=r+1}^n d_j \beta_j \in \langle \beta_{r+1},\dots,\beta_n \rangle$。由于 $\dim \langle \beta_{r+1},\dots,\beta_n \rangle = n-r = \dim V_2$，且 $V_2 \subseteq \langle \beta_{r+1},\dots,\beta_n \rangle$（因为 $V_2$ 的基可由 $\beta$ 表示），故 $\langle \beta_{r+1},\dots,\beta_n \rangle = V_2$，因此 $x \in V_2$。

综上，存在线性变换 $\sigma$ 使得 $\sigma(V)=V_1$，$\sigma^{-1}(0)=V_2$。