华南理工大学 2025年高等代数第6题

特征多项式为 $\det(\lambda I - A)$。由于 $A$ 的最后一行除 $(4,4)$ 元外均为零，按最后一行展开： $$\det(\lambda I - A) = (\lambda-1) \begin{vmatrix} \lambda-2 & 1 & -1 \\ 1 & \lambda-2 & 1 \\ -1 & 1 & \lambda-2 \end{vmatrix}.$$ 左上角3阶子式对应矩阵 $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$，其特征多项式为 $\det(\lambda I - B) = (\lambda-1)^2(\lambda-4)$。因此 $A$ 的特征多项式为 $(\lambda-1)^3(\lambda-4)$。

由于 $A$ 可对角化，特征值 $\lambda=1$ 的代数重数为3，几何重数必须等于3，即 $\dim\ker(A-I)=3$，等价于 $\operatorname{rank}(A-I)=1$。计算 $A-I = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & a & b & 0 \end{pmatrix}$。前三行成比例（第一行乘以-1得第二行，乘以1得第三行），秩为1。因此第四行必须与第一行成比例，即存在 $k$ 使得 $(2,a,b,0)=k(1,-1,1,0)$，解得 $k=2$，$a=-2$，$b=2$。

解 $(A-I)x=0$。由 $A-I$ 的行简化：第一行 $(1,-1,1,0)$，其余行成比例。方程等价于 $x_1 - x_2 + x_3 = 0$。自由变量为 $x_2, x_3, x_4$，取 $(x_2,x_3,x_4)=(1,0,0)$ 得 $\xi_1=(1,1,0,0)^T$；取 $(0,1,0)$ 得 $\xi_2=(-1,0,1,0)^T$；取 $(0,0,1)$ 得 $\xi_3=(0,0,0,1)^T$。

解 $(A-4I)x=0$，其中 $A-4I = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & 0 \\ 2 & -2 & 2 & -3 \end{pmatrix}$。对系数矩阵进行行化简： 1. 第一行除以-1：$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & 0 \\ 2 & -2 & 2 & -3 \end{pmatrix}$； 2. 第一行乘以1/2？更简单：直接求解。观察前三行，可解得 $x_1 = t, x_2 = -t, x_3 = t$，代入第四行得 $2t -2(-t) +2t -3x_4 = 6t -3x_4=0$，故 $x_4=2t$。取 $t=1$ 得 $\xi_4=(1,-1,1,2)^T$。

令 $P = (\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，则 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(1,1,1,4)$。