华南理工大学 2025年高等代数第2题
📝 题目
2、（20 分）设有 $n$ 阶实方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)$ ，且
$$
\begin{aligned}
& a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0,(i=1,2, \cdots, n), \\
& a_{1 j}+a_{2 j}+\cdots+a_{n j}=0,(j=1,2, \cdots, n),
\end{aligned}
$$
证明： $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实方阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的所有元素的代数余子式都相等
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件并转化为矩阵形式
已知 $A$ 是 $n$ 阶实方阵，每行元素之和为0，每列元素之和也为0。设 $\mathbf{1} = (1,1,\ldots,1)^T$，则条件可写为 $A \mathbf{1} = \mathbf{0}$ 和 $\mathbf{1}^T A = \mathbf{0}^T$。这意味着 $\mathbf{1}$ 是 $A$ 的属于特征值0的特征向量，因此 $\det(A)=0$，$A$ 是奇异矩阵。
公式：$A \mathbf{1} = \mathbf{0}$, $\mathbf{1}^T A = \mathbf{0}^T$
提示：注意行和与列和均为0，意味着 $\mathbf{1}$ 既是右特征向量也是左特征向量。
步骤 2/5
目标：利用伴随矩阵性质得到关系式
设 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，其元素为 $A_{ji}$（$A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式）。由 $A A^* = \det(A) I = 0$，得 $A A^* = 0$。即对任意 $i,j$，有 $\sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} = 0$。
公式：$A A^* = \det(A) I = 0$
提示：伴随矩阵的定义：$A^*$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素是 $A_{ji}$。
步骤 3/5
目标：推导伴随矩阵的列向量与行空间的关系
固定 $j$，考虑向量 $\mathbf{v}_j = (A_{j1}, A_{j2}, \ldots, A_{jn})^T$。由 $A A^* = 0$ 知，$A$ 的每一行与 $\mathbf{v}_j$ 正交。由于 $A$ 的行向量张成的空间维数最多为 $n-1$（因为行和为零，行向量线性相关），且所有行向量与 $\mathbf{1}$ 正交，所以行空间是 $\mathbf{1}^\perp$ 的子空间。而 $\mathbf{v}_j$ 与所有行正交，故 $\mathbf{v}_j$ 属于行空间的正交补，即 $\mathbf{1}$ 的方向。因此存在常数 $c_j$ 使得 $\mathbf{v}_j = c_j \mathbf{1}$，即 $A_{j1} = A_{j2} = \cdots = A_{jn} = c_j$。
公式：$\mathbf{v}_j = c_j \mathbf{1}$
提示：注意行空间的正交补是一维的，由 $\mathbf{1}$ 张成。
步骤 4/5
目标：利用 $A^* A = 0$ 推导行向量关系
类似地，由 $A^* A = \det(A) I = 0$ 得 $A^* A = 0$。即对任意 $i,j$，有 $\sum_{k=1}^n A_{ik} a_{kj} = 0$。固定 $i$，考虑向量 $\mathbf{u}_i = (A_{i1}, A_{i2}, \ldots, A_{in})$。则 $\mathbf{u}_i$ 与 $A$ 的每一列正交。由于 $A$ 的列向量也满足列和为零，类似可得 $\mathbf{u}_i$ 与 $\mathbf{1}$ 平行，即存在常数 $d_i$ 使得 $A_{i1} = A_{i2} = \cdots = A_{in} = d_i$。
公式：$A^* A = 0$
提示：对称地处理列向量，注意列空间的正交补也是由 $\mathbf{1}$ 张成。
步骤 5/5
目标：结合两个结论证明所有代数余子式相等
由步骤3，对于任意 $i,j$，$A_{ij}$ 等于 $c_j$（因为同一列的元素相等）。由步骤4，$A_{ij}$ 等于 $d_i$（因为同一行的元素相等）。因此 $c_j = d_i$ 对所有 $i,j$ 成立，从而所有 $c_j$ 和 $d_i$ 都等于同一个常数，记为 $k$。于是所有代数余子式 $A_{ij} = k$，即相等。
公式：$A_{ij} = c_j = d_i$
提示：注意 $c_j$ 和 $d_i$ 是常数，但可能依赖于下标，通过交叉相等推出所有相等。
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