华南理工大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
4．（20分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,4,0,2), \alpha_{2}=(2,7,1,3), \alpha_{3}=(0,1,-1, a), \beta=(3,10, b, 4)$ ．求：
（1）$\displaystyle a, b$ 取何值时，$\displaystyle \beta$ 不能被 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示？
（2）$\displaystyle a, b$ 取何值时，$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示？并写出表达式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：建立线性方程组
设 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 = \beta$，即求解线性方程组 $A\mathbf{x} = \beta$，其中 $A = (\alpha_1^T, \alpha_2^T, \alpha_3^T)$，$\beta = (3,10,b,4)^T$。写出增广矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 3 \\
4 & 7 & 1 & 10 \\
0 & 1 & -1 & b \\
2 & 3 & a & 4
\end{pmatrix}
$$
提示：注意向量按列排列，增广矩阵最后一列为β。
步骤 2/8
目标：初等行变换（第一步）
对增广矩阵进行初等行变换：
$R_2 - 4R_1$，$R_4 - 2R_1$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 3 \\
0 & -1 & 1 & -2 \\
0 & 1 & -1 & b \\
0 & -1 & a & -2
\end{pmatrix}
$$
提示：行变换要仔细计算，避免符号错误。
步骤 3/8
目标：初等行变换（第二步）
继续行变换：$R_3 + R_2$，$R_4 - R_2$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 3 \\
0 & -1 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & b-2 \\
0 & 0 & a-1 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：注意第三行和第四行的变化，特别是第四行：$(-1) - (-1) = 0$，$a - 1$ 保持不变。
步骤 4/8
目标：交换行得到行阶梯形
交换 $R_3$ 和 $R_4$，得到行阶梯形：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 3 \\
0 & -1 & 1 & -2 \\
0 & 0 & a-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & b-2
\end{pmatrix}
$$
提示：交换行后注意矩阵的秩。
步骤 5/8
目标：判断线性表示的条件（1）
当 $b-2 \neq 0$ 即 $b \neq 2$ 时，增广矩阵的秩为4，而系数矩阵的秩最多为3，故方程组无解，$\beta$ 不能被 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示。此时 $a$ 任意。
提示：注意系数矩阵的秩不可能大于3，因为只有3列。
步骤 6/8
目标：判断线性表示的条件（2）
当 $b=2$ 时，增广矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 3 \\
0 & -1 & 1 & -2 \\
0 & 0 & a-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
此时需分情况讨论 $a$。
提示：注意 $b=2$ 时最后一行全零，秩取决于 $a-1$。
步骤 7/8
目标：情况一：a ≠ 1，唯一表示
若 $a \neq 1$，则系数矩阵秩为3，增广矩阵秩也为3，方程组有唯一解。回代：由第三行得 $(a-1)x_3=0$，因 $a\neq1$，故 $x_3=0$；第二行：$-x_2 + x_3 = -2$，得 $x_2=2$；第一行：$x_1+2x_2=3$，得 $x_1=-1$。所以表达式为 $\beta = -\alpha_1 + 2\alpha_2$。
提示：回代时从最后非零行开始，注意符号。
步骤 8/8
目标：情况二：a = 1，无穷多表示
若 $a=1$，则系数矩阵秩为2，增广矩阵秩为2，方程组有无穷多解。此时增广矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 3 \\
0 & -1 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
令 $x_3 = t$（$t$ 为自由参数），由第二行：$-x_2 + x_3 = -2$，得 $x_2 = t+2$；第一行：$x_1+2x_2=3$，得 $x_1 = 3-2(t+2) = -2t-1$。所以表达式为 $\beta = (-2t-1)\alpha_1 + (t+2)\alpha_2 + t\alpha_3$，$t \in \mathbb{R}$。
提示：自由参数取任意实数，注意表达式中系数与参数的关系。
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