📝 华南理工大学 2026年高等代数真题

1．（15 分）求所有整数 $m$ ，使得 $\displaystyle f(x)=x^{5}+m x+1$ 在有理数域上可约．

2．（15 分）已知 $n$ 阶上三角矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
& 1 & \cdots & 1 \\
& & \ddots & \vdots \\
& & & 1
\end{array}\right)
$$

求 $\displaystyle |A|$ 的所有元素的代数余子式之和．

3．（20分）设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}\left(E_{m}-A A^{\mathrm{T}}\right)-\operatorname{rank}\left(E_{n}-A^{\mathrm{T}} A\right)=m-n$ ．

4．（20分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,4,0,2), \alpha_{2}=(2,7,1,3), \alpha_{3}=(0,1,-1, a), \beta=(3,10, b, 4)$ ．求：
（1）$\displaystyle a, b$ 取何值时，$\displaystyle \beta$ 不能被 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示？
（2）$\displaystyle a, b$ 取何值时，$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示？并写出表达式．

5．（20 分）设 $\displaystyle L_{i}=c_{i 1} x_{1}+c_{i 2} x_{2}+\cdots+c_{i n} x_{n}, i=1,2, \cdots, p+q, c_{i j} \in \mathbb{R}$ ，证明：实二次型

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=L_{1}^{2}+\cdots+L_{p}^{2}-L_{p+1}^{2}-\cdots-L_{p+q}^{2}
$$

的正惯性指数 $\displaystyle \leq p$ ，负惯性指数 $\displaystyle \leq q$ ．

6．（20分）设 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的线性子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} W_{1}<\operatorname{dim} W_{2}$ ，证明：$\displaystyle W_{2}$ 中必有一个非零向量正交于 $\displaystyle W_{1}$ 中的所有向量．

7．（20 分）设 $\displaystyle n \geq 2, V=F^{n \times n}$ 为数域 $F$ 上 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的一个线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A}: X \rightarrow X^{\mathrm{T}}, \forall X \in F^{n \times n}$ 。
（1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值和特征向量．
（2）判断 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是否可以对角化？并说明理由．

8．（20分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，且 $V$ 上线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示为

$$
A=\left(\begin{array}{cccccc}
\lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & \lambda & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \lambda & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda
\end{array}\right)
$$

证明：
（1）$V$ 是仅有的包含 $\displaystyle \alpha_{1}$ 的 $\displaystyle \sigma$ 不变子空间．
（2）$\displaystyle \sigma$ 的任意不变子空间必包含 $\displaystyle \alpha_{n}$ ．（应该指明非零不变子空间）
（3）每个子空间 $\displaystyle V_{i}=L\left(\alpha_{n-i+1}, \cdots, \alpha_{n}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ 为 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha \in V_{i}$ 当且仅当 $\displaystyle (\sigma-\lambda \varepsilon)^{i} \alpha=0$ ，其中 $\displaystyle \varepsilon$ 为恒等变换．