华南理工大学 2026年高等代数第7题
📝 题目
7．（20 分）设 $\displaystyle n \geq 2, V=F^{n \times n}$ 为数域 $F$ 上 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的一个线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A}: X \rightarrow X^{\mathrm{T}}, \forall X \in F^{n \times n}$ 。
（1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值和特征向量．
（2）判断 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是否可以对角化？并说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立特征方程
设 $\lambda$ 是 $\mathscr{A}$ 的特征值，$X$ 是对应的特征向量，则 $\mathscr{A}(X) = X^T = \lambda X$。
公式：$X^T = \lambda X$
提示：注意特征向量 $X$ 是非零矩阵。
步骤 2/5
目标：推导特征值的可能取值
对等式 $X^T = \lambda X$ 两边取转置，得 $(X^T)^T = X = \lambda X^T$。将 $X^T = \lambda X$ 代入，得 $X = \lambda (\lambda X) = \lambda^2 X$。由于 $X \neq 0$，所以 $\lambda^2 = 1$，即 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = -1$。
公式：$X = \lambda^2 X \Rightarrow \lambda^2 = 1$
提示：注意转置运算的性质：$(X^T)^T = X$。
步骤 3/5
目标：求特征值1的特征向量
当 $\lambda = 1$ 时，特征方程 $X^T = X$，即 $X$ 为对称矩阵。所有对称矩阵构成 $V$ 的子空间，维数为 $\frac{n(n+1)}{2}$。
公式：$X^T = X$
提示：对称矩阵的维数计算：主对角线上 $n$ 个元素，上三角部分 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个元素，共 $n + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$。
步骤 4/5
目标：求特征值-1的特征向量
当 $\lambda = -1$ 时，特征方程 $X^T = -X$，即 $X$ 为反对称矩阵。所有反对称矩阵构成 $V$ 的子空间，维数为 $\frac{n(n-1)}{2}$。
公式：$X^T = -X$
提示：反对称矩阵的主对角线元素必须为0，上三角部分 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个元素自由，下三角由反对称确定，故维数为 $\frac{n(n-1)}{2}$。
步骤 5/5
目标：判断是否可对角化
线性变换 $\mathscr{A}$ 可对角化当且仅当 $V$ 可以分解为特征子空间的直和。特征值1和-1的特征子空间维数之和为 $\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 = \dim V$，且这两个子空间交为0（因为对称矩阵与反对称矩阵只有零矩阵重合），所以 $V$ 是它们的直和，从而 $\mathscr{A}$ 可对角化。
公式：$\dim V_1 + \dim V_{-1} = n^2$
提示：注意验证两个子空间的和是直和：若 $X$ 既对称又反对称，则 $X^T = X$ 且 $X^T = -X$，推出 $X = -X$，故 $X=0$。
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